skan0029

l/oi

2/03

lyon

K«l»lo 2/0

jest wektorem danym.

ijktoll funkcja wektorowa p jest ciągła dla t e [ot,p], to zagadnienie początkowa (2.10.2)—(2.10.3) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Twi I. Załóżmy, że    • • •, x^ⁿ'> są liniowo niezależnymi wektorami własnyH

macierzy A_nXn odpowiednio dla wartości własnych Aj, A2, ■ ■ •, A_n. Wtedy równan® jednorodne

3/'(0 = 4 y(t).

ma rozwiązanie ogólne dane wzorem

y(t) = Cie^Xltx^ + C2e^X2tx^ H-----1- C_ne^Xntx^K

	m	m	• • • X^ 1 xl
3/CO =	x^(£^)	4^a)	... x^(n) jga
	.*»*	x$	... T(^n) ■*<n

r Cie^Xlt 1 C₂e^Xit

lub

\c_ne^Xnt \

gdzie Ci, C2, • • •, C„ są dowolnymi stałymi.

Tw. 2. Załóżmy, że rr^¹),^²),• • -x(ⁿ) są wektorami własnymi macierzy A_nx« Wtedy te wektory są liniowo niezależne, gdy detfcW, • • • ,a:⁽ⁿ⁾) ^ 0, tzn.

m	rr^(2) ^xi	• • • ■ ®i
r(i)	II śa®	.. ■ Hi •" 2	#0.
Xn^	|h	(n) ■ • • Zn '
m... 5		są wektorami własnymi macierzy

powiednio dla wartości własnych Ai, A2, • • •, A_n. Jeżeli

Aj ^ Aj dla i $ j,

to wektory własne ajW, x^, • • •, x^ są liniowo niezależne.

Tw. 4. Jeżeli macierz A_nXn jest macierzą symetryczną o współczynnikach rzefl czywistych, to ma ona n liniowo niezależnych wektorów własnych. Macierz A jest ■ symetryczna, gdy A^T = A.

Wyznaczyć rozwiązania ogólne następujących zagadnień:
			ro- 1 oi
1. y'(t) I	-1 -fi IN	II 'ho'. ci HO*'	0 0 1.	,Ay0)
			[1 H ^l\

a więc Ai = 1 i A2 = 2 są wartościami własnymi macierzy A =

■1 1 -6 4

hwwlą/nnln L Zauważmy, żo

-A 1 -6    4-A

= A² - 3A + 2 = 0;

Teraz szukamy wektorów własnych macierzy A. Wektor własny dla Ai = 1 otrzymamy z układu równań (A — AiI)x — 0, a więc

-2	1'		Xi		0'
-6	3		.^x*.		0

Rozwiązując ten układ metodą eliminacji Gaussa, mamy

-2	1	O _1		-2	1	1 0
-6	3	0		0	0	0

a stąd wynika, że wektor własny jest postaci

a

2a

x⁽¹⁾ =

Podobnie, dla A2 = 2, mamy układ równań

= a

i a^O.

-3	1‘		X\		0'
-6	2		m^x21		0

rozwiązując go metodą eliminacji Gaussa

-3 1	: 0			1 : 0
-6 2	i 0		0 0:0
asny
x& =	11 w	= 0	1' 3	, |||1

otrzymamy wektor własny

Ponieważ wartości własne macierzy A są różne, więc odpowiednie wektory wł imo są liniowo niezależne. Na podstawie tw. 1 rozwiązanie ogólne ma postać

1/(0 = Ci^ajW + C₂e^2txW = Cie¹

+ C₂e²

‘ e* e^at '		'Ci
2a‘ 3a^a*.		,Ci,