skan0002

108

to szereg naprzemienny ^(—l)ⁿ⁺¹a_n jest zbieżny.

n=l

oo

Szereg zbieżny a_n nazywamy bezwględnie zbieżnym, gdy jest zbieżny szereg

n=l

0o    OO    OO

|a_n|. Szereg zbieżny V a_n nazywamy warunkowo zbieżnym, gdy szereg ^ l^a»l

t^l    n=l    ⁿ⁼¹

JOst rozbieżny.

oo    . _    --    .oo • ; t

^w. Jeżeli szereg |a_n| jest zbieżny, to jest zbieżny bezwględnie szereg ^ a_n.

n=l    n=l

Rryterium całkowe zbieżności szeregu. Niech m będzie dowolną liczbą naturalną. Jeżeli funkcja / jest nierosnąca i nieujemna w przedziale [m,oo), to

rOO    °°

całka    / f(x)dx    oraz szereg    S ^f{~ⁿ\

•'^vn    n=m

^są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

Rozwiązania

1. Rozkładając wyraz a_n na ułamki proste:

B

■ +

1    A

4n² — 1    2n — 1 2n + 1 ’

po wyznaczeniu stałych A i B, mamy

1 1/1 1

ⁿ An² - 1    2 \2n — 1    2n^|l) '

Z powyższego rozkładu można przedstawić wyraz S_n ciągu sum częściowych

Sn — ^al + ^a2 + • * ■ *1" ^an

1

1

-1 J_

la3 ig3 • 5 ⁺ ” ⁺ (2n - 3)(2n - 1) { (2n - l)(2n + 1)

+ ■

1

1

_ JL / _ 1    1 _ 1

S 2 V “ 3 ⁺ 3    5 ⁺ " ’⁺ 2n - 3 2n - 1 ¹ 2n - 1 2n + 1

n 2 n I

lim S_nS§ lim ”    = M

Ponieważ

n—*oo    n—»oo    +1    2

więc szereg jest zbieżny i jego suma wynosi

■Mi B HI 1

2. Zauważmy, że jest to szereg geometryczny o ilorazie q == e^-1, a więc jest 0% zbieżny, gdyż |g| < 1, i jego suma S jest równa liczbie

Zauważmy, że w tym przypadku mamy

a stąd

E<

,—k

1 - e~ⁿ 1-e-¹’

lim S_n

n—*oo

■ e -e — 1’

Zbadać zbieżność szeregów:

3. wmm

4.

E

1

y/ń

°° 1

⁵-S^TT

• I

°° on

⁷-e4-

n= 1

OO

®-E

10.

E

1

nlnn

3. Tworząc ciąg sum częściowych, mamy

n Sn - TY-	| )^k m	J -1, gdy n ,	|Qflt llrirtlią ikUąmizyHtą,
Mmi		1 gtiy	|M«t Ili Rhą lmimylitt,.