skan0032

7H

h stąd wynika, żo

W 5B

0

1

Jest jego rozwiązaniem. Zgodnie ze wzorem (2.10.5) oznacza to, że drugie vm wiązanie jest określone następująco:

+ e

'0

■

= e

t + (3 1

= e*

t

1

przy 0 = 0.

Można pokazać, że wyznaczone rozwiązania u\ i u₂ są liniowo niezależne, wlflj rozwiązanie ogólne ma postać

y(t) = C₁u_l{t) + C₂u₂(t) = C₁e^t

1

0

+ C₂e^t \

V	te*
0	e*

G{

C₂

Korzystając z warunku początkowego, mamy

‘0'		1 0'	m
1		I 1	m

Ci

C₂

0

1 ’

a to oznacza, że szukane rozwiązanie ma postać

y(t) =

' e* te*'	0'		te*'
0 e*	1		e*

2. Wyznaczmy wartości własne macierzy A:

2 — A 1    0

0 -3 -A    1

-1    -13    4 — A

= -A³ + 3A² - 3A + 1 = (1 - A)³ = 0,

czyli Ai = A₂ = A₃ = 1 są szukanymi wartościami własnymi.

Wektor własny dla Ai,2,3 = 1 wyznaczymy rozwiązując układ równań

1	1	0	' o		1	1	0	i O		i	rH	0	i- o
0	-4	1	0		0	-4	1	0		0	-4	1	0
.-1	-13	3	0.		.0	-12	3	0.		.0	0	0	0.

0(1.8,8)

-a		’-l*
a	= a	1
. .		4

<v / ()

Stąd,

Jonii Jedynym liniowo niezależnym wolt torom w łatwym 1 rozwiązanie z nim związano ma poatuć

u\ = e

t

1

4

Zauważmy, że A = 1 jest potrójną wartością własną, a to oznacza, że musimy mleć trzy liniowo niezależne rozwiązania. Będziemy ich szukać w postaci

U2 = te^tx^ + e^łwi,

uz = t²e^tx^ + te^twi + e^tW2.

Podstawiając te zależności do równania y'(t) = Ay(t), otrzymamy

e*xW + te*x^ + e^lwi = Atx^e* + Awie*,

2te^tx^ + t²eⁱx^ + e^twi + te^i + e^łv)2 = Ax^¹h²e^t + Awite*',4- Aw^e*. Porównując współczynniki przy e^t,te^t i t²e^t dostaniemy następujący układ:

e* : x^ +wi = Awi , e*: wi +W2 = Aw2, te¹: z⁽¹⁾ = Ax^ te* : 2x^ +wi — Aw\, t²e^t:x^=Ax^{1)

lub

( (A -1) z⁽¹⁾ =0,

\ {A- I)u>i=xW,

(2.10.8)

oraz

(2.10.9)

1(A — I) V)2 = ^wh (A-I) w i = 2a;⁽% (A - I) s⁽¹⁾ = O.

Zauważmy, że pierwsze równanie w (2.10.8) i ostatnie w (2.10.9) są spełnione, gdyż A = 1 jest wartością własną macierzy A. Metodą eliminacji Gaussa wyznaczmy rozwiązanie drugiego równania z (2.10.8), otrzymując

1 1 0 i -1		1 l 0 i -1		1 ,Ą. o :. .^.1
0 -4 1 i 1		0 -4 1 i 1	C*J	0 -4 1 i 1
.-1 -13 3 i 4.		.0 -12 3 i 3.		.0 0 0 i 0.