skan0011

122

Ponadto dla /_n(®) = *ⁿ mamy f'_n(x) = {xⁿ)' = nxⁿ~^l, oraz |nz^n-1| < ng^n_1

oo

dla |rc| < g < 1. Szereg liczbowy ^ nqⁿ~^l jest zbieżny na podstawie kryterium

n=l

Cauchy’ego, gdyż

lim ynqⁿ~

v n/~    ,«    \/n    -

lim    lim g-—r = g < 1.

n—»oo    p/q n—*oo p/q

Na podstawie kryterium Weierstrassa szereg po prawej stronie wzoru (3.2.2) jest jednostajnie zbieżny dla |x| < g < 1. Z tw. 2 wynika prawdziwość wzoru (3.2.2).

Wzór (3.2.2) przedstawimy w postaci

oo ,n=l	■	a; ] 1 — ir + x	1 ^00
	"l	1 — rej (1 —a:)^2 (1
Stąd mamy		oo oo /- Bn n=l n=l '	y-l x
			) (1-|)^2

|*| < g <    (3.2.3)

9

4’

Podobnie mamy dla zadania 3,

Wykazać jednostajną zbieżność szeregów funkcyjnych:

_    ' cosnx _

1. E ₂    *€1R

" n²wn

n—1    ^v

oo i

3-    — In. —, £€[1,<

o x' 7 + sin 3x ^

²-E—

«-E

x + n⁴

, * € [0, oo)

3ⁿ⁺¹\/2 + na:’

x 6 [0, oo)

n</n[ 2 ■)= n².r’^J

n\/n

Hal ^v

°-E

ln(l + nx)

, x € [a, oo), a > 1

¹⁰-Ęl _{+ fTO)2}. *6[o,oo),a>0

■i: • |11

Podać wartości x, dla których dany szereg jest zbieżny:

11. ^(lne®)^n-^1	12. E(^)^n
n=1	n=l'
00 ■■ n= 1	» r^n14. V—-=
oo >. * v-> cos nx 15. > - Z_/ oUX n=l ^e	oo - 16. E. ^ 1 + n=l
oo	co RHffiH
17. Vsin^-3 n n=l	\ > sin ~ 18- > -0 . n^2 + a:^4 n=l

Sprawdzić założenia tw. 2 i obliczyć pochodną sumy danego szeregu

sin nx n2ⁿ

20. £

“•E

n~l \    v HK9K|    . n=l

Korzystając ze wzoru (3.2.3), obliczyć sumy szeregów:

21.

wm

22

23. Obliczyć:

24. Korzystając ze wzoru

1

n2ⁿ’

obliczyć

E

1

n2ⁿ

Odpowiedzi

I ----V UJ %. —

TT    7T

14.®® [-1,1]

10. M > I

11. e“^a < x < 1 13. a: C. (U) 15. ar > 0

17. iii ( Dl

IN. i t ||(