120763

Badamy czy szereg jest zbieżny:

M-4

s,=Zi - czy jest to ciąg Cauchyego?

=» j™js₂„ ^_s»I * ⁰, co oznacza, że s„ nie jest ciągiem cauchy'ego, zatem szereg 53 jest rozbieżny

,, i

DEFINICJA 15.3 (ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA)

(^X)M|) - przestrzeń Banacha

Szereg Yn.. - bezwzględnie zbieżny <=>    zbieżny

TWIERDZENIE 15.2

• Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.

Z: szereg 5jp„ - bezwzględnie zbieżny

T: szereg Y"a. - zbieżny Dowód:

Niech <t„ = UK|. ^s» = L^a*

n=l    k=1

wystarczy pokazać, że s„ jest ciągiem Cauchy’ego.

V <>s|s„-^sm|| = IK.i ^+a».j +- + o„NLlKI = |<T„-£7-, -> 0

m.nc*    _{k l}    n m .-

bo <~r„ jest ciągiem Cauchyego

Na podstawie twierdzenia o 3 ciągach    ^—s»ll⁼⁰

SZEREGI LICZBOWE

TWIERDZENIE 15.3 (I KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)

Z- V 0 So, SI),

ns.Y    "    "

T: 1) 53" -zbieżny    - zbieżny