003

Ćwiczenie 2

Na rysunku obok przedstawiono wykres ciągu o wzorze ogólnym a_n = — sfn. Jest to ciąg rozbieżny do — oo. Które wyrazy tego ciągu spełniają warunek:

Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

A^r

*4.16. C

a) a_n < —10, b) a_n < —100, c) a_n < —1000?

Przykład 2

Ciąg a_n = (—l)ⁿ • n nie jest rozbieżny ani do —oo, ani do oo, gdyż podciąg wyrazów o numerach parzystych jest rozbieżny do oo, a podciąg wyrazów o numerach nieparzystych jest rozbieżny do — oo.

Ćwiczenie 3

Czy ciąg (a_n) ma granicę niewłaściwą?

{— 2ⁿ dla n nieparzystych

₉    '    b) a_n

—n dla n parzystych

Często wykorzystujemy poniższe granice niewłaściwe.

TWIERDZENIE_

Jeśli q> 1, to lim qⁿ = oo.    Jeśli k > 0, to lim n^k = oo.

.    '    n—»oo__n—»oo_

f 2 ⁿ dla n nieparzystych i. 2ⁿ dla n parzystych

Przy obi: TWIERDZEŃ Jeżeli c:-_z

1.    lim

n—>oc

2.    lim

3.    lim

n-» oc

4.    lim

n-»oc

5.    lim ₌

n—c

Przykład 1

f- o

lim

oo

Ćwiczenie 1

Oblicz grani -

ZADANIA _______________

1. Sprawdź, czy ciąg (a_n) jest rozbieżny do —oo lub do oo.

a) a_n = —jqTI    c) a_n = 0,ilⁿ    e) a_n = n\

b) On = 3ⁿ    d) a_n = -n³    f) a_n = (-3)ⁿ

2. Które wyrazy ciągu (a_n) należą do przedziału (M; oo)?

a) a_n = 4_n², M = 200    c) a_n =    M = 50

b) a_n = M = 20000    d) a_n =    M = 500

3. a) Dany jest ciąg o wzorze ogólnym a_n = y/n. Dla jakich n jest spełniony warunek a_n > 10, a dla jakich warunek a_n > 100?

b) Dany jest ciąg o wzorze ogólnym a_n = n³ + 40rr — 25n. Dla jakich n jest spełniony warunek a_n > 1000?

240    4. Ciągi

c) Dany jest ciąg o wzorze ogólnym a_n = 1.1”. Dla jakich n jest spełniony warunek a_n > 12?

a) (i_n —--

Przykład 2

a.) Oblicz ST '_:_j

Licznik i n_:

lim —

n—x

b) Oblicz grrni*

Ćwiczenie 2

Oblicz grani -

a) a_n

n-i-3

10 77 — '