95907

2

2. Jeśli ££L₀ KI + |ó„| < oo. to szereg trygonometryczny S(x) jest zbieżny jednostajnie. Ponadto. współczynniki szeregu wyrażają się wzorami (1).

Dowód. .Jednostajna zbieżność szeregu S(x) wynika z kryterium Weicrstrassa. Mamy bowiem

K cos nar + 6_n sinnx| < KI + KI-Wiemy, że dla każdych n ^ m

fir    f2ir

J sin nx sin mx dx = J    cos nx cos mx dx = 0

i dla każdych m, n € N

J sin nx cos mx dx — 0.

Stąd wzory na współczynniki otrzymujemy całkując jednostajnie zbieżne szeregi S(x) cos nx oraz S(x) sin nx wyraz po wyrazie.    □

Zwróćmy uwagę, że jeśli / 6 ^„(R), to dla każdego a € R

ra+2x    r2x

/ f(x)dx= / f{x)dx,

Ja    JO

więc obliczając współczynniki Fouriera według wzorów (1) możemy całkować po dowolnym przedziale długości 2tt. na przykład po [0,2tt]. Czasem upraszcza to obliczenia.

Przykład. Niech

^{u(l) = m}©- ^x6R

Mamy

i r²* x

Oo

2 TT

dx = 1

i dla n > 1

	1	r^2lt
an =		/	—— cos nx <lx =
	7r j	>0	2-
1	f^2,r	X	, x
	/	—	sin nxdx —--
7r J	'o	2 TT

xsin nx r* 2n²n lo

2n²n

2 n²n

sin nx dx = 0

'-f

27r²n Jo

² w ¹ cos nx dx =--.

mi

więc

1

2

sin nx nn

jest szeregiem Fouriera naszej funkcji. Szereg ten, jak wiemy, jest zbieżny w każdym punkcie. Ale czy do funkcji u? Zwróćmy też uwagę, że współczynniki tego szeregu nie spełniają warunku bezwzględnej zbieżności, który postulowaliśmy w (2).

Przykład. Niech v będzie rozszerzeniem do funkcji okresowej funkcji x [—7T, tt). W odróżnieniu od funkcji u funkcja v jest ciągła. Mamy

\x\ z odcinka

«o

TT