50027 skanuj0014 (217)

76 Rozdział j. Ciągi i szeregi

oo    N

(2) Szereg fn nazywamy zbieżnym jednostajnie, jeśli ciąg Sn = ^ f_n

n=l    n=l

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze D.

Do badania zbieżności punktowej szeregów funkcyjnych możemy stosować kryteria dotyczące zbieżności szeregów liczbowych. Podane dalej kryterium będzie dotyczyło zbieżności jednostajnej.

Twierdzenie 4.67. (kryterium Weierstrassa¹). Niech będzie dany ciąg funkcji    fn - D —■> R_; D C M oraz niech \f_n(x)\ ^ a_n dla n € N,

oo    oc

x € D. Jeśli szereg fTj a_n jest zbieżny, to szereg Yf f_n jest zbieżny jednostaj-

n=1    n=1

me.

Przykład 4.68. Rozważmy szereg funkcyjny Y2 ^Slnfⁿ. Wtedy

n=l

sin x

€

Esin xⁿ n=l

jest zbieżny

dla x G M, zgodnie z kryterium Weierstrassa, szereg

oo

jednostajnie, ponieważ szereg Y2 jest zbieżny.

71= 1

W dalszej części będziemy mówić o szeregach potęgowych, tzn. o szeregach postaci

oo

(4.14)    ya„i"

n=0

i badać ich zbieżność, co oznacza, że będziemy pytać, dla których x G M szereg (4.14) jest zbieżny, a dla których rozbieżny. Oczywiście szereg (4.14) jest zbieżny dla x = 0.

Funkcjami, które znamy i które łatwo jest badać, są wielomiany, czyli funkcje postaci W(x) = ao-\-a\x + a2X² + • • • + a_nxⁿ. Szereg potęgowy to naturalne uogólnienie wielomianu, gdzie zamiast skończonej sumy piszemy sumę nieskończoną.

oc

Pytanie o zbieżność szeregu potęgowego ^anXⁿ (tzn. o zbiór x G IR, dla

n=0

których ten szereg jest zbieżny) można też rozumieć jako pytanie o dziedzinę

oo

funkcji danej szeregiem, czyli funkcji ih J a_nxⁿ. Jak zobaczymy w kolejnych

n—0

rozdziałach, wiele funkcji można zapisać za pomocą szeregów potęgowych, np. funkcje /: M —> R, f{x) — sina;, g: IR —> M, g{x) — e^x.

1

Karl Weierstrass (1815-1897), matematyk niemiecki; autor prac z teorii funkcji analitycznych, algebry liniowej, rachunku wariacyjnego, geometrii różniczkowej; pierwszy skonstruował przykład funkcji ciągłej nie mającej pochodnej w żadnym punkcie.