77818 skanuj0012 (261)

74

Rozdział 4- Ciągi i szeregi

4.3. Ciągi funkcyjne

zatem me jest spe\mony w ar \rnck konieczny, bo    > oc. Warunek konieczny

°° t

nie jest także spełniony dla x = — e. Zatem szereg Y    jest zbieżny dla

n— 1

.t £ (—e, e), a rozbieżny dla a: € (—oc, —e] U [e, +oc). Był to przykład szeregu potęgowego. Takimi szeregami będziemy się zajmować w podrozdziale 4.4.

4.3. Ciągi funkcyjne

Poprzednio rozważaliśmy zbieżność ciągów liczbowych. Jeżeli mamy danydąg funkcji (/_n)^L_l5 fn'- D —> IR, D C R, to naturalne jest pytanie o zbieżność tego ciągu do pewnej funkcji /: D —» R. W jakim sensie będziemy tu rozumieć zbieżność? Jednym z możliwych jest pytanie o to, czy ciąg wartości funkcji f_n(x) zmierza do f{x) dla każdego x £ D.

Definicja 4.60. Będziemy mówić, że ciąg funkcji (/_n)"L_1? f_n: D —> M jest zbieżny punktowo do funkcji /: D —» R i pisać f_n —> /, jeżeli dla każdego x e D zachodzi /_n(:r) —> /(a;). Rozpisując to, „explicite”, zauważamy że dąg f_n jest zbieżny punktowo do funkcji / (/_n —> /) wtedy i tylko wtedy, gdy

(4.11)    V_x6o V_£>0 V„>m \fn{x) - f(x)\ < £.

Przykład 4.61. Niech f_n: [0,1] —> R, f_n(x) = xⁿ. Wtedy dla każdego X £ [0,1), f_n(x) -> /(x), gdzie /(a;) = 0 dla x £ [0,1), a /(1) = 1. Wynika to bezpośrednio z twierdzenia 4.31. Innymi słowy, f_n —> /.

Zbieżność punktowa nie zachowuje jednak wielu własności, np. ciągłości funkcji (patrz przykład 4.61 i twierdzenie 5.29). Trzeba więc wprowadzić pojęcie silniejsze.

Definicja 4.62. Niech f_n: D -> R, /: D —» R, D C R. Mówimy, że dąg (/n)S=i jest zbieżny jednostajnie do funkcji / i piszemy f_n =4 /, jeżeli

(4.12)    V_£>0 3_MgM V_n>M    |/_n(rr) - /(x)| < e.

Warunek ten jest równoważny

(4.13)    V_£>0 3_MgK V_n>M sup|/_n(x) - /(x)| < £.

x£D

Aby pokazać tę równoważność, zauważmy że warunek (4.13) implikuje w sposób oczywisty warunek (4.12). Jeśli natomiast zastosujemy warunek (4.12) dla §, to otrzymamy sup|/_n(a:) - f(x)\ < § < e.

x£D

Porównując warunl

Twierdzenie 4.63. A

Dcl oraz funkcja f: do funkcji f, to ciąg te

Przykład 4.64. Rozv Przy ustalonym x £ [C ciągach. Zatem ciąg (. 0 (/„ -*■ 0). Pokażemy, jeżeli weźmiemy M — nierówność | Cj sin nx -Przykład 4.65. W p:

jest zbieżny punktowe i /(1) = 1. Udowodnić

3_£>o V

Niech e = \ i weźmy d

wiemy, że (^)^A < 1 dl. z własności zbioru lici

że (5)" < x < 1, czj dowód.

4.4. Szeregi fi

Mając dany ciąg funkc

00

ny Yj fn- Analogiczn

71 = 1

ciąg sum częściowych

S_N\D-*\

Definicja 4.66.    (1

N

ciąg Sn — Y

n=1

S_N(X) = E fn

n=l