48650 skanuj0006 (372)

68

Rozdział 4- Ciągi i szeregi

Ą.2. Szeregi liczbowe

2 N

Uwaga 4.37. Bezpośrednio z definicji zbieżności szeregu wynika, że jeśli ma-

00

my daną dowolną liczbę naturalną k, to szereg Y2 a_n jest zbieżny wtedy i tylko

n= 1 00

wtedy, gdy szereg Y2 a_n jest zbieżny. Wynika to z prostej obserwacji, że ciąg

n=k

N    k—1    N    N

^an = Y2 ^an + E ^an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg Y2 a_n jest

n=1    n= 1    n=/c    n=k

zbieżny.

Zastanówmy się, jaki warunek musi spełniać ciąg (a_n)^L_l5 aby „była szansa”

00

na zbieżność szeregu Y2 a_n.

n=1

Twierdzenie 4.38 (warunek konieczny zbieżności szeregu). Niech dany

00

będzie ciąg (a_n)^₌₁, a_n G M. Jeśli szereg ^an i^est zbieżny, to ciąg a_n jest

n—1

zbieżny do 0 (a_n —> 0).

00

Dowód. Zauważmy, że — sn — sat-i- Jeśli Y2 a_n jest zbieżny, to sjv —* s,

n=l

zatem a/v = sn — sa/-i —> s — s = 0.    □

00

Przykład 4.39. Szereg    jest rozbieżny, ponieważ    —► y = 1.

n=l

00

Przykład 4.40. Szereg Y2 -, zwany szeregiem harmonicznym, jest rozbieżny.

n=l

Spełnia on warunek konieczny, gdyż ^    > 0. Jeśli szereg ten byłby zbieżny, tzn.

N

a_n = s_N -> s, wtedy:

n=l

_1__1— ... —i L_ >

N+2 ^    ^ 2N ^

n= 1

Sfsj "b 2/v ~b ' ' ' ~b 2/V    ^./V “b -N ‘ 2/v    J^- 2’

zatem S2N > s/v + 5. Obliczając granicę przy iV —► 00, otrzymamy s > s + czyli 0 > 5, co prowadzi do sprzeczności.

00

Przykład 4.41. Rozważmy szereg    Szereg ten jest zbieżny, gdy a > 1,

n=l

a rozbieżny, gdy a ^ 1. Przypadek a = 1 był pokazany w przykładzie 4.40. Pozostałe przypadki zostaną udowodnione w przykładzie 8.33.

Następne twierdzer konsekwencją twierdze:

Twierdzenie 4.42. N

00

(1)    Jeśli szeregi Y J

n—1

00

oraz J](a_n + 6_n

71=1

00

(2)    Jeżeli szereg Jj,

n=1

oc

oraz ca_n = c

71=1

Kolejne twierdzeń jeśli się je porówna z :

Twierdzenie 4.43 (1

ne są ciągi (a_n)£L_1; (

(1)    Jeśli 0 ^ a_n ^ b

oc

t: ^a7i-

71=1

(2)    Jeśli 0 ^ a_n ^

00

szereg X) 6_n.

71=1

Dowód. W przypad

Ciąg t]y jest rosnący Stosując twierdzenie otrzymujemy 0 ^ s a_n ^ 0 dla n G N, w

dzenia 4.23 - ciąg 6 W przypadku dowo<