skanuj0002 (444)

64 Rozdział J. Ciągi i szeregi

Naturalne jest pytanie o zachowanie się granic względem działań (analogicznie do twierdzenia 4.14), jeśli granicami ciągów są nie tylko liczby rzeczywiste, ale również 4-oc i — oo.

Twierdzenie 4.28. Załóżm,y, że lim a_n = a oraz lim b_n = b, gdzie a, b € M

n—> oo    n—> oo

bądź są równe 4-oo lub — oo. Wtedy:

(1) Istnienie oraz wartość granicy lim (a_n + b_n) ilustruje następująca tabela:

^{v 7}    n—> oo

b\a	R	+oo	— oo
R	a b	Too	—oc
4-oo	-l-oo	+oo	7
—oo	—oo	?	— oo

(2) Istnienie i wartość lim [a_n ■ b_n) przedstawia tabela:

n—>oo

b\a	— oo	R_	0	R+	4-oo
— oo	-f-oo	+oo	?	—oo	—oo
R_	-|-oo	a b	0	a b	— oc
0	?	0	0	0	?
R+	—oo	a b	0	a b	4-oo
■foo	—oo	—oo	?	4-oc	4-oo

(3) Istnienie oraz wartość lim ^ przedstawia tabela:

b\a	—oo		0	R+	4-oo
—oo	?	0	0	0	?
R_	4-oc	a b	0	a b	—oo
0	? ± oo	? ± oc	?	? ± oo	? ± oo
R+	— oc	a b	0	a b	4-oc
4-oo	?	0	0	0	7

W powyższych tabelach znak „1” oznacza, że nie można ani rozstrzygnąć problemu istnienia granicy, ani obliczyć jej wartości, natomiast oznaczenie „1 ± oc” mówi o tym, że nie można rozstrzygnąć problemu istnienia granicy, ale jeśli taka granica istnieje, to może ona być równa jedynie +oo lub —oo.

Uwaga 4.29. Jeśli rozważymy ciągi zbieżne do liczb rzeczywistych, 4-oo lub —oo, to nie zawsze możemy rozstrzygnąć, gdzie zmierzają ciągi powstałe po wykonaniu działań na zadanych ciągach. Sytuacje oznaczone w tabelach