skanuj0010 (291)

72 Rozdział Ą. Ciągi i szeregi

Twierdzenie 4.52. (kryterium d’Alemberta⁵ zbieżności szeregów). Dany jest ciąg (a_n)^₌₁, (a_n) G R, a„ / 0.

i    i    ⁰⁰

(1)    Jeśli lim ,    | < 1, to szereg V a_n jest bezwzględnie zbieżny.

^n—>°°    ‘ _n=1

l    l    ⁰⁰

(2)    Jeśli lim , ^f r > 1, to szereg V) a_n jest rozbieżny.

n—»oo \^an\

oo

Przykład 4.53. Szereg ^ jest zbieżny, ponieważ

n=l

lim -= 0 < 1.

n-+oo n+1

(+T)!    2ⁿ⁺¹ n!    2-2" n\

lim -—on = lim 7-—7 • — = lim ——-- • —

n—»oo A-    n—>oo (n Tl)! 2ⁿ    n—>00 n\(jl + 1) 2ⁿ

Uwaga 4.54. Przy okazji otrzymujemy, na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregu, że lim — o. Popatrzmy ogólniej na powyższe spostrze-

n—>00 ⁿ-

00

żenie. By dowieść, że lim a_n = 0, wystarczy pokazać, że szereg V) a_n jest

n->°°    „=1

zbieżny, na przykład na podstawie kryterium Cauchy’ego lub d’Alemberta.

OO    n

Przykład 4.55. Szereg 'jTj ^co^i^l jest bezwzględnie zbieżny. Zauważmy naj-

n= 1

00

pierw, że szereg ^2 jest zbieżny, gdyż

n= 1

lim

n—*00

1

(n+1)!

T

n!

= lim

n\

lim

1

n—>oc n!(n 4- 1)    n—>00 n+1

= 0 < 1.

Możemy również oszacować • ^co^,ⁿ I ^ zatem - zgodnie z kryterium

OO    n

porównawczym - szereg | ^co^ | jest zbieżny, co daje zbieżność bezwzględną

n= 1 00

szeregu £

71=1

Nie wszystkie szeregi zbieżne są bezwzględnie zbieżne.

00

Definicja 4.56. Szereg ^ a_n nazywamy warunkowo zbieżnym, jeśli szereg

n=l

oo

a_n jest zbieżny, a nie jest bezwzględnie zbieżny.

n=l

°Jean d’Alembert (1717-1783), francuski filozof i matematyk; jego prace matematyczne dotyczyły głównie równań różniczkowych.