30837

oo    oo

2. jeżeli szereg ^ b_n jest zbieżny, to zbieżny jest szereg ^ a„.

n=1    n=l

oo

Tw.4 (kryterium elAlcinbcrta) Jeżeli °n jest szeregiem o wyrazach elodatnich i istnieje gra-

n«l

nica lim —— = g (właściwa lub niewłaściwa), to ⁿ^°° a_n

oo

1.    jeśli 0 < g < 1, to szereg ^ a„ jest zbieżny;

n = l

oo

2.    jeśli g > 1. to szereg ^ a„ jest rozbieżny.

n= 1

oo

Tw.5 (kryterium Cauchv'go) Jeżeli a_n jest szeregiem o wyrazach nieujemnych i istnieje

n=l

granica Jiin^ = g (właściwa lub niewłaściwa), to

oo

1.    jeśli 0 < g < 1. to szereg ^ a„ jest zbieżny:

n=l

oo

2.    jeśli g > 1. to szereg ^ a_n jest rozbieżny.

n= 1

W obu twierelzcniach jeśli g = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności badanego szeregu.

oo

Def Szereg ^( —l)ⁿ⁺¹«_n, gdzie a_n > 0 dla n G N nazywamy szeregiem naprzemiennym.

n=l

Tw.6 (kryterium Leibniza) Jeżeli («t,)„€N j^st ciągiem nierosnącym i lim a_n — 0. to szereg

n—»oc

X^(-l)ⁿ⁺¹a„ jest zbieżny.

n=l

oo    oo

Def. Szereg zbieżny ^ «_ri jest zbieżny bezwzględnie, jeśli zbieżny jest szereg ^ |«_n|. Jeśli szereg

n= 1    n= 1

oo

y |a_n| jest rozbieżny, to dany szereg jest zbieżny warunkowo.

n=l

oo    oo

Tw.7 Jeżeli szereg ^ |n„| jest zbieżny, to szereg ^ «„ jest zbieżny (be^zwzglęelnie).

n ■» 1    n~l

2