str095 (5)

§ II. ODWZOROWANIA KONFOREMNE 95

§ II. ODWZOROWANIA KONFOREMNE 95

liczna w punkcie oo, jeżeli jest |z|<oo tego punktu i dąży do

nowym punktu z₀ i ograniczona <(5, jest harmoniczna również (11.13) i (11.13') są funkcjami

wysłowić następująco: Funkcja cm punktu z₀ oraz ma wartość

) i funkcją odwzorowującą ten zek. Mówią o tym następujące

onforernnie obszar jednospójny D w środek tego kola, to funkcja

b

zĄ--

a    a

w ----j    •

c    «

z-l— c

-o-

Greena dla obszaru jcdnospój-irowująca konforemnie obszar D tego kola, określona jest wzorem

Widać od razu, że musi być c # 0. W przeciwnym bowiem razie oś rzeczywista przechodziłaby w oś rzeczywistą, a ma przejść w okrąg |w| = 1. Zauważmy dalej, że być musi również a # 0, bo w przeciwnym razie punkt z — oo, leżący na brzegu obszaru lm(z)>0, przeszedłby w punkt w = 0, czyli w środek koła |wj<l. Jest to niemożliwe, bo punkty brzegowe muszą przejść na brzegowe. Reasumując, mamy

a # 0 i c ± 0.

Wobec tego przekształcenie (1) możemy napisać w postaci (2)

Punktom z, = —b/a i z₂ = — djc na płaszczyźnie (z) odpowiadają w płaszczyźnie (w), w myśl 2, odpowiednio punkty w, = 0 i w₂ = co. Ponieważ punkty t*^ = 0 i w₂ = oo są symetryczne względem okręgu |»tj = 1, więc ipunktyz, = — 6/«orazz₂ = —d/c muszą być symetryczne względem osi rzeczywistej (por. twierdzenie 6). Jeżeli więc przyjmiemy

(3)

to

(4)

— = -a, a

— = —a. c

Uwzględniając związki (3) i (4) we wzorze (2), mamy

a z—a

(5)    w =---z.

c z —a

Pozostaje jeszcze wyznaczyć współczynnik a/c. W tym celu zauważmy, że punktowi z = 0, leżącemu na osi rzeczywistej Im z = 0, musi odpowiadać punkt leżący na okręgu |w| = 1. Przyjmując we wzorze (5) z = 0, mamy

funkcją harmoniczną sprzęioną

(6)

w =

Ponieważ punkt w określony wzorem (6) musi leżeć na okręgu |vt’| = 1, więc

lomograficzne, odwzorowujące

a a c a

= 1.

Ale

(7)

a

a

= 1, więc

a

c

= 1,