img111

121

* ² fyjź (*.y#²)^dy*^dz ■ 2X(dx)² ♦ 2x(dy)² 4 2x(dz)²

A Z8ten różniczkę d²£ Jest * punkcie A form* kwadratom* określoną dodatnio, a w.punkcie B - określoną ujemnie. Wynika stąd, że funkcje f na w punkcie (-1,2,-2) minimum warunkowe, a w punkcie (1,-2,2) - maksimum warunkowe.

Na zakończenie tego wykładu dodajmy, iż opisana wyżej metoda mnożników Lagrange'a może być też stosowana z powodzeniem w takich przypadkach, w których potrafimy układ kilku warunków postaci (9.6) sprowadzić do jednego werunku postaci (9.7).

Przykład

3eśli warunki (9.6) mej* postać

g^.y.z) - X4y4Z-l-0

g₂(x,y,z) ■ 2x - 3y ♦ 2z - 2 ■ 0

to są one równoważne warunkowi g(x,y,z) »x4z-i-0 (dlaczego?) i można szosować zaproponowaną wcześniej metod* mnożników Legrange'a.

Ćwiczenia

9.1.    Wyznaczyć punkty ekstremalne funkcji R3x —► u(x) określonej równaniem

n    o

f(x,u) ■ x 4 u - 3xu ■ 0

9.2.    Udpwodnlć nierówność

'2'    ^ (^X"g-^)    #    n^.1,    x>0,    y>0

9.3.    Znaleźć najmniejszą odległość miądzy punktem M 3 (1,0) a punktem (x,y) leżącym na elipsie o równaniu 4x² 4 9y² » 36.

Zadania

9.1. Wyznaczyć ekstrema funkcji R² 3 (x ,y) —*■ z(x,y) określonej równaniem