img293

1=

Z    I

xx xy

I    I

gdzie Z =X

(14.1)

gdzie macierz £ jest macierzą symetryczną stopnia p + q. Zakładamy również, że Z jest macierzą nieosobliwą, przy czym jej wyznacznik IZI > 0. Oznaczmy przez s rząd pod-macicrzy

Szukamy pary funkcji liniowych najlepiej dopasowanej (reprezentującej) obydwa zbiory zmiennych. Główna idea analizy kanonicznej polega na tym, aby funkcję liniową zmiennych x postaci

u = /, x_l + l₂x₂+... + l_px_p i funkcję liniową zmiennych y postaci v = m, y, +m₂y₂ + ... + m_qy_q

dobrać w taki sposób, aby korelacja w parze zmiennych kanonicznych była maksymalna. Spełnienie tego istotnego warunku oznacza, że pary zmiennych kanonicznych u, i v_r możemy uważać za dobrą reprezentację danych wyjściowych w ramach przyjętego modelu. Liczba par zmiennych kanonicznych jest równa liczbie zmiennych zależnych, tzn. zmiennych objaśnianych.

Szukamy zatem funkcji liniowych u = L^Tx i v = M^Ty spełniających warunki:

1.    a²(u) = a²(v) = 1,

2.    kowariancja cov(m, v) = max.

Funkcje u i v noszą nazwę zmiennych kanonicznych, a wektory L i M — wektorów kanonicznych. Pierwszy warunek z wyżej wymienionych oznacza unormowanie wariancji szukanych funkcji liniowych, przy czym

a² (u) = o² (L^tx) = (L^rx) (L^tx)^t = L^Txx^rL = L^T!L_aL ,

i analogicznie

a² (v) = o² (M^rx) = (M^ry) (M^Ty)^r = M^Ty y^rM = M^T'L_yyM .

Natomiast kowariancja cov(m, v) = p_MV

293