s128 129

128

Powyższy układ zapiszemy w postaci macierzowej

AX = B,

gdzie macierze .4, X i B są. postaci

'2	-1 3'		X		r
1 3	4 5 -2 4	, X =	y z	, B =	12 0

Pomnóżmy ten układ lewostronnie przez macierz A~^l przy założeniu, że macierz A jest nieosobliwa, otrzymując

A-¹ -A-X = A~^l ■ B X = A-¹ ■ B.

Metoda ta nazywa się metodą macierzową. Rozwiązanie jest więc równe iloczynowi macierzy odwrotnej A^-1 przez macierz B.

Szukamy macierzy odwrotnej do macierzy .4. Ponieważ

det(yl) =

2

1

3

-1 3 4 5 -2 4

-1,

więc macierz A jest macierzą nieosobliwą, co również oznacza, że A~^L istnieje. Zgodnie z procedurą szukania macierzy odwrotnej, marny

2    1    3

-1 4 -2

3    5    4

oraz

A° =

4	-2		-1 -	-2
5	4		3	4
	1 3		2 3
	5 4		3 4
1	3		2	3
4	-2		-1 -	-2
	4-^1		i—‘ ii- ll

2

3

2

-1

det(^l)"

—2G 2 -11 1 14 -1

26	-2	-17
11	-1	-7
-14	1	9

17

7

-9

-26    2    17

-11    1    7

14    -1    -9

	r		'-2'
	12	=	1
	0		2

Stąd

X = A~^l B = Odp. x — —2, y = 1, z — 2.

	'3 2	-l'		'1-20 -3'
(a) A =	1 2 1 1	9 2	, (6) B -	2 0 1-2 -16 17

Przypomnijmy definicję rzędu macierzy. Rzędem macierzy C_mxn nazywamy największą liczbę całkowitą r, dla której istnieje nieosobliwa podmacierz o wymiarze r x r utworzona z macierzy C. Z powyższej definicji widać, że R(C) < min (m,n).

Wyznaczenie rzędu macierzy jest związane z liczeniem wyznaczników, co oznacza, że będziemy korzystać z własności dotyczących obliczania wyznaczników

(a) Wyznaczmy rząd macierzy A. Łatwo zauważyć, że

1 < R{A) < 3.

Przez bezpośrednie obliczenie mamy det(/l) = 0, co oznacza, że rząd macierzy A nie może być równy liczbie 3. Zauważmy, że R{A) — 2, gdyż

(b) Oczywiście R{B) < 3. Aby wyznaczyć R(B) na elementach macierzy L wykonamy przekszałcenia nie zmieniając rzędu: pierwszy wiersz mnożymj przez -2 i dodajemy do drugiego, oraz pierwszy wiersz dodajemy do trze ciego, otrzymując

R(B) = R

= R

1	-2	0	—	3'	\ (	'i	-2	0	-3
2	0	1	—	2	] = r[	0	4	1	4
-1	6	1		7	) \	0	4	1	4
1	1 to o		-3'	A	_ 9
0	4 1		4	)

gdyż

7^0.

4. Wyznaczyć rząd macierzy:

1 -2 0    4