246 (52)

METODY NUMERYCZNE...

Układ ten zapiszemy w postaci macierzowej. Wprowadzając oznaczenia Ś (0 ⁼ (£<(0}hi » C = {{(f i,    ,

A (r) = {a (f;    > fm ~ {(/>    »

“om — {(^Mo> 9V)n}>*i » mamy

(10.112)

C + A (0 £ (?) = fjt) , r 6 (0, T]

C (0) £ = «on. • t = 0

Jest to zagadnienie Caucky'ego dla układu równań zwyczajnych. Macierz C jest nicosobliwa jako iracierz Gramma. Jeśli elementy macierzy A i wektora f_m są funkcjami ciągłymi na odcinku [0, 7"], to zagadnienie (10.112), a tym samym i zadanie przybliżone (10.111), ma jednoznaczne rozwiązanie.

W przedstawionej metodzie Galerkina przyjmując za V_m przestrzenie elementu skończonego otrzymujemy MES ciągłą wzęględem t. Takie przestrzenie skonstruowaliśmy w punktach 10.3.3 i 10.3.4 dla zadań eliptycznych jedno-i dwuwymiarowych.

Przykład 10.9

Rozważmy zadanie modelowe (10.108) jednowymiarowe przestrzennie, tzn. Q = = (0,/), Au zaś redukuje się do D\u. W tym przypadku za V_m możemy wziąć przestrzeń elementu skończonego F<^1J(0,/), odcinkami liniową (zob. p. 10.3.3).

Funkcjami bazowymi Vj_i^l> są funkcje dachowe = ę> —<),gdzie p-(s) = (1 — |s| dla \s\ < L i 0 dla |s[ ^ 1 }

Dla tego wariantu MES układ (10.112) po uwzględnieniu postaci macierzy C i A wypisanych w- p. 10.3.3 przyjmuje postać dla i = 1.2,..., m_h

d?    6

Ći+i +    = w_0l-,

? e (0, T]    (10.113)

* = 0; ut) “    - o, ?€[o,rj

W tym zadaniu można przyjąć, że ę,(0) = u_0i, gdzie u_Ci = u₀(ih). Błąd tej metody ma następujące oszacowanie (podajemy bez dowodu (zob. też poz. [30])):

max ||U (f)-u

gdzie u(’, /)> t/(*» O są rozwiązaniami dokładnym i przybliżonym. Oszacowanie to zachodzi, jeśli u e H^Z(Q). du}dt e H^l(Q) dla < e [0, T~\, zaś U (0, x) jest funkcją należącą do k’_h⁽¹⁾(0. /) i interpolującą u₀.    □

Jak widać, wyznaczenie rozwiązania przybliżonego V (x> t) metodą Galerkina ciągłą względem t (w szczególności MES), sprowadza się do rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczajnych. Układy te, na ogół rozwiązujemy też