100 36

30

zapiszemy w postaci macierzy

(<¹11¹ <¹n» pi

°Yt» <¹aa> ^ffu I #    (3¹7)

<¹3lł <¹32i <¹33/

którą nazywać będziemy macierzą naprężeń. Definiujemy zatem: macierzą naprężeń nazywamy zbiór skalarnych funkcji trzech zmiennych (¹i ,, x₃), które przedstawiają współrzędne naprężeń w punkcie o współrzędnych (x%, x₂, x₃), uporządkowany w taki sposób, że wiersze są współrzędnymi naprężeń przyporządkowanych płaszczyznom przekrojów prostopadłych odpowiednio do osi x_it x₂ i x₃.

“Składowe naprężeń p_lt p₂, p₃ pokazano na rys. 3.2. Zwróćmy uwagę, że składowe, których długości leżą na diagonalnej macierzy, są prostopadłe do odpowiednich płaszczyzn przekrojów, pozostałe współrzędne w kolejnych wierszach przedstawiają długości składowych, leżących w płaszczyznach podziału. Stąd też, elementy leżące na diagonalnej nazywać będziemy naprężeniami normalnymi, pozostałe zaś — naprężeniami stycznymi.

Dodajmy na koniec dwie uwagi:

— macierz naprężeń —jak się przekonamy jeszcze w tym paragrafie — będzie podstawą określenia stanu naprężenia w każdym punkcie i dlatego będzie ona obiektem naszych poszukiwań;

— macierz naprężeń staje się uporządkowanym zbiorem liczb, jeśli ustalimy współrzędne punktu.

1.4. Zaakowmnie elementów macierzy naprężeń

Może się wydawać nieco sztucznym wprowadzanie dodatkowej umowy odnośnie do przyporządkowywania znaku „plus” lub „minus” elementom macierzy naprężeń, które przecież przedstawiają współrzędne wektorów określonych w danym układzie współrzędnych. Gdybyśmy jednak nie wprowadzili specjalnej umowy dotyczącej znakowania, wówczas musielibyśmy każdorazowo zaznaczać z gęstością jakiego układu (Ił',) czy (W_u) mamy do czynienia. Aby tego uniknąć, czyli aby formalny zapis przedstawiał gęstość układów (W',) oraz (FK„) wprowadzamy następujące umowy znakowania

—    naprężenie normalne uważać będziemy za dodatnie lub naprężeniu normalnemu przyporządkowywać będziemy znak „plus”, jeśli zwrot składowej tego naprężenia będzie zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej płaszczyzny przekroju,

—    naprężenie styczne będziemy uważać za dodatnie lub naprężeniom stycznym przyporządkowywać będziemy znak „plus", jeśli: 1¹ zwrot normalnej zewnętrznej płaszczyzny przekroju Jest zgodny ze zwrotem osi współrzędnych, do której normalna jest równoległa, i Jeśli: 2° zwrot składowej naprężenia stycznego Jest zgodny ze zwrotem osi współrzędnych, do której ta składowa jest równoległa’, naprężenie styczne uważamy za dodatnie również

ti

W tym przypadku, gdy następuje równoczesna niezgodność zwrotów obu wymteutowytk paw wektorów.

Na rys. 3.2 wszystkie naprężenia normalne i styczne są dodatnie, dodatnie aą takie naprężenia normalne i styczne przedstawione na rys. 33.

1S. Graficzny obraz macierzy aaprętcś

Graficznym obrazem macierzy naprężeń są trzy rysunki 32. Gdyby składowe wszystkich trzech wektorów narysować na jednym rysunku, wówczas stałby się on bardzo nieprzejrzysty, a ponadto nie oddawałby istoty, jaką jest przyporządkowanie naprężeń płaszczyznom z odpowiednim wektorem normalnym wskazującym, która część dajja na którą. Możemy otrzymać przejrzysty obraz oraz pokazać inną ważną interpretację fizyczną macierzy naprężeń, jeśli posłużymy się rysunkiem umownie przedstawiającym punkt materialny. Przyjmijmy, że punkt materialny A jest sześcianem o krawędziach odpowiednio równoległych do osi układu współrzędnych i długości krawędzi równej jednostce (rys. 3.4a).

Zalety takiego przedstawienia są następujące:

1° Poszczególne ścianki sześcianu możemy uważać za elementy kierunkowe płaszczyzn przechodzących przez punkt A, odpowiednio prostopadłych do osi układu współrzędnych i o ustalonej normalnej zewnętrznej. Na przykład ściankę PQRS możemy uśmiać za de* ment kierunkowy płaszczyzny, przechodzącej przez punkt A, prostopadłej do osi SI i której normalna zewnętrzna ma zwrot zgodny ze zwrotem osi x_u zaś ściankę p§f|jHS* możemy uważać za element tej samej płaszczyzny, jedynie o normalnej zewnętrznej mającej zwrot niezgodny ze zwrotem osi x_t.

2* Traktując równologłe ścianki jako elementy tej samej płaszczyzny, a jedynie o różnych zwrotach normalnej zewnętrznej, możemy powiedzieć, że jeśli składowe naprężenia rs jednej ściance przedstawiają gęstość układu (»j), to składowe na    rówaokgfcj

gęstość układu (FPji); stąd też naprężenia normalne i styczne na obu tych ściankach wagą

• — Wytrzymał oAÓ materiałów...

1

Z podobnych przyczyn wp owędziliśmy w rozdziale 2 układ własny przekroju poprzecznego oraz spody.