322 2

322

S. Równania różniczkowe

Używając tej właśnie postaci łatwo opisywać metody numeryczne r oz w i ązywan _ia tak samo, jak dla pojedynczych równań.

idu

Równanie różniczkowe wyższego rzędu Takie można wyrazić jako układy równań r pierwszego.    ;

Przykład 8.1.1. Równanie różniczkowe

	d\v	( dy	d^2y\
		^e\^x,y,di'	d?)
z warunkami początkowymi
	y( 0)=n,	y\ 0)=y2.	>'"(0) = y3
przekształca się po podstawieniu		dv ń2=-J-» dx	~rs i -ci II s?
na układ	dfjt ■zr*-		nt(0)=y,,
	dm		?2(0)=y2,
	dfj3 T=g(X'rh*'h*>h)’ dx		Th(p)=7s •

Wobec tego wkład równań różniczkowych rzędu pierwszego jest właściwą znormalizowaną postacią także dla tych zagadnień początkowych, w których równania różniczkowe maj* wyższy rząd.

Jeśli x oznacza czas, to równanie różniczkowe (8.1.2) opisuje wektor prędkości cząsteczki jako funkcję wektora ej położenia y. Tak więc równanie różniczkowe okresia po>e wektorowe. Dwuwymiarowy przykład pokazano na rys. 8.1.1. Rozwiązanie równania opisuje ruch cząsteczki w takim poiu. Tę interpretację można bezpośrednio uogólnić na trzy wymiary, a i dla wnęk szych układów jest ona pożyteczna.

Przykład 8.1.2. Rozważmy układ

-^r"^s-(7i+'72U 'ł:iO) = A,. di

^ = -(>j₂-ę,),    ą₅(0 )=A_Z.

Dla różnych warunków początkowych otrzymujemy tu całą rodzinę rozwiązdlf. kich krzywych pokazano na rys. 8,1.1 (dla (A_t, A,)=(L. 0), (L, L). (0. />))•