146

146

12. Równania różniczkowe

Ogólna postać układu równań jest następująca:

*1		Fx(t,x{,x2,.	-,xn)
x2	=	F2(t,xx,x2,.	■;Xn)
		Fn{t,xx,x2,.

przy danym warunku początkowym

x, (/ = 0) = x,o, dla i = 1,2.....n.    (12.2)

Zwykle szukamy rozwiązania powyższego układu w przedziale czasu od t = 0 do l_k. Rozwiązanie można uzyskać krok po kroku. Na podstawie wartości jt(/₀) = x₀ uzyskuje się rozwiązanie w chwili + dt, na podstawie tego ostatniego - rozwiązanie w chwili t(i + 2dt itd. Równanie różniczkowe jest zastępowane równaniem różnicowym, dlatego metody rozwiązania są nazywane metodami różnicowymi.

Matlab oferuje wiele funkcji rozwiązywania układów równań różniczkowych, spośród których najczęściej są używane funkcje oparte na metodzie Runge’a-Kutty’ego. Zwykle jest to funkcja ode23 (metoda rzędu 2. i 3.) lub ode45 (metoda rzędu 4. i 5.). Obie funkcje wymagają następujących kolejnych wejściowych parametrów:

•    łańcuch zawierający nazwę funkcji definiującej układ równań różniczkowych,

•    przedział czasu, w którym poszukiwane jest rozwiązanie od t₀ do t_k,

•    warunek początkowy jc₀ w postaci wektora kolumnowego,

•    opcjonalny parametr wymaganej dokładności obliczeń, domyślnie le-3.

W wyniku działania funkcji ode() otrzymuje się macierz x, zawierającą umieszczone wierszowo wektory rozwiązań w kolejnych chwilach czasowych t.

Zalety zastosowania Matlaba do rozwiązywania układów równań różniczkowych są szczególnie widoczne podczas badania stanów nieustalonych w obwodach elektrycznych.

Analiza przebiegu prądu zwarciowego w obwodzie RL

W rozdziale 5 podano funkcję kreślącą przebieg czasowy prądu zwarciowego na podstawie analitycznego rozwiązania równania różniczkowego stanu nieustalonego w obwodzie RL. Przebieg prądu może również być wyznaczony przez numeryczne rozwiązania równania różniczkowego.