CLEBSCH 1

P rze m i eszcze n i a

Metoda całkowania równania różniczkowego osi odkształconej

Jeżeli belka jest poddana zginaniu prostemu (por. p. 8.1), to jej oś zakrzywia się w płaszczyźnie obciążenia, środki ciężkości poszczególnych przekrojów (wyznaczające oś belki) przemieszczają się w pionie (równolegle do osi pionowej), a przekroje poprzeczne obracają się dookoła osi obojętnej o kąt zwany kątem obrotu (rys. 8-12). Przemieszczenia pionowe nazywa się zazwyczaj ugięciami, a oś odkształconą belki — linią ugięcia.

Porównanie największych przemieszczeń, zwłaszcza ugięć, z ugięciami dopuszczalnymi przyjmowanymi na podstawie odpowiednich norm, jest jednym z warunków sprawdzanych podczas wymiarowania belek zginanych

Między ugięciem v belki oraz jej momentem zginającym i sztywnością, tj. iloczynem El, zachodzi zależność różniczkowa

= ^EIv" = ±^M«> (8-21)

w której: E — współczynnik sprężystości podłużnej materiału belki,

I — moment bezwładności przekroju poprzecznego belki względem osi obojętnej,

M_a — moment zginający w przekroju a —a o odciętej x.

Wybór znaku po prawej stronie równania (8-21) zależy od przyjętego układu' osi oraz reguł znakowania momentów zginających. W wypadku zasady znakowania M_a przyjętej w podręczniku (por. rozdz. 3) oraz osi pionowej o zwrocie do góry, przyjmuje się w wymienionym wzorze znak plus.

Jeżeli z obliczeń ugięcie v otrzyma się ze znakiem plus, to oznacza, iż jest ono zgodne z dadatnim zwrotem osi y i odwrotnie. Gdy kąt (p jest dodatni, to oznacza, iż przekrój poprzeczny lub styczna do osi odkształconej w tym przekroju obróci się od dodatniego zwrotu x w stronę dodatniego zwrotu v i odwrotnie.

Całkując raz równanie (8-21), otrzymuje się zależność określającą kąt obrotu

El = EIv' = C + f MJx,    (8-22)

a całkując dwa razy — zależność określającą ugięcie

EIv = Cx + D + J [J M_adx~],    (8-23)

gdzie: C,D — stałe całkowania, zależne od tzw. warunków brzegowych.

Równanie M_a ma różną postać na poszczególnych odcinkach (przedziałach) belki o różniących się obciążeniach. Jeżeli jest więc n takich odcinków, to otrzymuje się n równań różniczkowych oraz 2n stałych całkowania. Wyznaczenie tych stałych jest bardzo pracochłonne. Obliczenia znacznie ułatwia się (ogranicza się do 2 liczbę stałych całkowania), przyjmując specjalny sposób zapisu wyrażenia określającego moment zginający M_a, nazywany sposobem Clebscha. Sposób ten stosuje się w wypadku