23236 skanuj0042 (16)

15.    Różniczkowanie szeregów potęgowych

Jeżeli dany jest szereg potęgowy WMMH] to szereg \Y_ja„-n(x-a)ⁿ nazywamy {szeregiem pochodnych.

»=i    u

Szereg pochodnych ma ten sam promień zbieżności co szereg wyjściowy. Jeżeli dla xe(a-r,a + r) suma 00 °0

szeregu -n(x-a)ⁿ jest równa f{x)=^_ja„(x-a)ⁿ to funkcja f jest różniczkowalna w przedziale oraz

*^i......    |||    «=o

00

f'(x)= ^_j^a„'n^n-a)"'¹. Wniosek: suma szeregu potęgowego w tym obszarze zbieżności jest funkcją

M=0

różniczkowalną dowolną ilość razy.

16.    Całkowanie szeregów potęgowych

00

Szereg potęgowy ^ a_n • n(x - a)ⁿ można całkować wyraz po wyrazie w dowolnym przedziale zawartym w

A 00    05 A    00

obszarze zbieżności    a_n (x-a)ⁿ = ^ n J(x - a)ⁿ    a_t

n +1

X'

n=0

17.    Szereg Taylora

Jeżeli funkcja f jest klasy&C⁰⁰ dla x e (x₀,x₀ + Ax) to w tym rozważanym przedziale prawdziwy jest dla dowolnego n wzór Taylora

n\

18.    Twierdzenie o rozwijalności funkcji w szereg Taylora

Jeżeli istnieje granica JJj^J?_w(x₀,Ax) = O niezależna od O to funkcja w przedziale (x₀,x₀ +Ax) jest

>oo

⁰⁰ f^ⁿ\^x )

rozwijalna w szereg Taylora f(x₀ + Ax) =^:J*—-— • A"x

£o n\

19.    Szeregi Fouriera

Jeżeli f :R—> R, f-okresowa o okresie 2tt, bezwzględnie całkowalna na (- n^Tt),

j K    J JC    1 X

a_n =- f/(x)cos«x<źc,n=0,l,2...,ń„ =§s£[/(*)sinnx<&,n=0,l,2..., a₀ =!£- |sinnxdx

71 {    71 i    71

J_*r . m

Z funkcji /(x) = — +    (^a„ cos nx + b„ sin nx)

2    „=i

20. Kryterium Dirichleta

Jeżeli f :R-> R, okresowa o okresie 2tt spełnia warunki Dirichleta:

a)    f jest przedziałami monotoniczna na przedziale (- 7r, 7r)

b)    ma co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju na tym przedziale, to szereg Fouriera tej funkcji jest zbieżny w każdym punkcie do wartości funkcji /(x) jeżeli jest to punkt ciągłości oraz

do    _w każdym punkcie nieciągłości, gdzie /(x₀ + 0) = jjpj^ f(x),