22898

16)    Całkowanie i różniczkowanie szeregów potęgowych:

Jeżeli y^„xⁿ • R" promień zbieżności, (-R.R)- przedział zbieżności.

n-0

Wtedy y^_nxⁿ jest jednostajnie zbieżny na wszystkich [-r,r], r<R, a więc funkcja

n=0

f{x) =    , |x|<R jest ciągła i różniczkowalna na przedziale [-r,r] przy czym

n=0

as    X    m

f\x) = T na_mx* ¹ na przedziale (-R,R). Ponad to: [ f(t)dt = y—^ x" ¹, |x|<R. ri    o    n-o ri+1

Fakty o ciągłości i różniczkowalności wynikają z ogólnych własności szeregów. Należy wykazać, że dla pochodnych i całek R jest jednakowe: limsup$]n\a_n\ = limsup = R, dla całek analogicznie.

17)    Tw ierdzenie Abcla:

Niech _ y a_nR" - zbieżny

l»*0

f(x) = y^anxⁿ,ciqga_w_(-R,R)/\\x\< R

n-0

Wtedy_ lim f(x) = ya_nRⁿ

^X~*^    n^O

Dow:S:=ya_nRⁿ

n-0

s„=L«_tR‘

k=0

lim S„ = S

ii

Rj

rozpatrujemy_sumy_częsciowe: ya_kx^k = ya_kR‘

=D^s*-^s»->) -d =E^S*

^    ^    ^ £s, ,^-) =

n

= y a_kx^k - możemy _ przejść _do_ granicy

18) Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy.

fⁱⁿ⁾( 0)

Szereg Taylora: f(x) = y-—^(x-x₀)ⁿ

ro n\

,    ^ f^ln)(0) „

Szereg Madarina: f(x) = > -x

“ n'

2