8 (25)

151

Szeregi potęgowe

Wobec tego wystarczy udowodnić, że zbiór A jest otwarty. Jeżeli x₀ e A, to z twierdzenia 8.4 wynika, że

(22)    /W-    (tx-*of.i /?—

.a«0\ ,

Pokażemy, że d„ = 0 dla dowolnego n. Przypuśćmy, że tak nie jest. Oznaczmy przez k najmniejszą z liczb naturalnych, dla których d_k # 0. Wtedy

(23)    /(x) - (x-xe)*g(x)    (|x-x₀j< R-\x₀\),

gdzie

(24)    ,    #(x)« d_k+m(^-’Xof,

m = P "1

Ponieważ funkcja g jest ciągła w punkcie x₀ i g(x₀) = <4 # 6, więc istnieje ó > 0 taka, że g(x) ^ ^ 0,jeśli |x-x₀| < ó. Z (23) wynika, że^) ?⁴ ^, jeżeli 0 < ,|?c—_jjc₀| < <5. Ale to przeczy faktowi, że x₀ jest punktem skupienia zbioru £.

Zatem d„ .«= 0 przy dowolnym n i funkcja /(x) = 0 dla każdego x spełniającego (22X tj. w otoczeniu punktu x₀. Oznacza to, że zbiór A jest otwarty, co kończy dowód.

Funkcje wykładnicza i logarytmiczna

Zdefiniujmy

<“>■,. . .. . .... -

Kryterium d’Alemberta pokazuje, że szereg ten jest zbieżny dla dowolnego z zespolonego. Stosując twierdzenie 3.50 o mnożeniu szeregów bezwzględnie zbieżnych otrzymujemy skąd wynika ważny wzór na iloczyn:

(26)    E(z+w) = E(z)£(w)    (z, w — liczby zespolone).

Jednym z wniosków jest równość

(27)    E(z)£(-z) M E(z-2) = £(0) = 1 (z - liczba zespolona).

Równość ta pokazuje, że £(z) # 0 dla dowolnego z. Z (25) wynika, że £(x) > 0, jeżeli x > 0; stąd i z (27) wynika, że £(x) > 0 dla dowolnego x rzeczywistego. Wzór (25) pokazuje, że £(x)-* + co przy x-» + oo, a ze wzoru (27) widać, że £(x)-»0 przy x-+ - oo. Z (25) wynika też, że nierówność 0 < x <y pociąga nierówność £(x) <£(y);z (27) natomiast wynika, że wtedy E(^y) < £(—x); zatem funkcja £ jest ściśle rosnąca na całej osi rzeczywistej.