7 (0)

124

7. Ciągi i szeregi funkcyjne

jeżeli mlx jest liczbą całkowitą, to/_m(x) = 1. Dla wszystkich pozostałych wartości x mamy f_m{x) = 0. Określmy teraz

/(x)« lim/_m(x).

m-*co

Jeżeli m jest liczbą niewymierną, to f_m(x) m 0 dla każdego m, a zatem/(x) = 0. Jeżeli x jest liczbą wymierną, x - p/q,todl&m> # iloczyn m!x jest liczbą całkowitą, więc/(x) = l.Mamy więc

(8)

lim lim (cosm!nx)²"

m-*eo n-*co

'0    dla    x niewymiernego,

1    dla    x wymiernego.

Otrzymaliśmy więc funkcję graniczną nigdzie nie ciągłą, która nie jest całkowalna w sensie Riemanna (zadanie 4, rozdz. 6).

7.5. Przykład. Niech

fjpc) m —-j=- 1 (x rzeczywiste, n =» 1,2,3, „.) V"

(9) oraz

/(x) m lim/„(x) = 0.

Wtedy/'(x) * 0, ale

/_B'(x) * •_s/ncosnx,

tak że {/,'} nie jest zbieżny do/'. Na przykład

/n'(0) *■ v^/^"^>+⁰⁰»

przy n-soo, podczas gdy/'(0) = 0.

7.6. Przykład. Niech

(10)    /_B(x) * n^ax(l-x²)* (P < x < 1, n - 1,2,3,„.).

Jeżeli 0 < x < 1, to

lim/_B(x)-0

na mocy twierdzenia 3.20 d). Ponieważ/, (0) = Odia dowolnego n, mamy (U)    lim/_B(x) * 0 (0 < x < 1).

Po łatwych rachunkach otrzymujemy, że