0414

416

DII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Przypuśćmy, że szereg (2) jest identyczny z (1). Otrzymamy wtedy wniosek, że wewnątrz przedziału zbieżności szereg potęgowy można podnosić do kwadratu w następujący sposób:

00    00

+    «_B-1+ ••• +a„a₀)xⁿ.

n-0    n~0

Jeżeli ten ostatni szereg znów pomnożymy według podanej poprzednio reguły przez szereg (1) i powtórzymy to dowolną ilość razy, to dojdziemy do wniosku, że szereg potęgowy można wewnątrz przedziału zbieżności podnosić do dowolnej naturalnej potęgi m, a wynik także będzie szeregiem potęgowym:

(4)    ^ ^a»^<m> **    o** = ²> ³> •••)•

n»0    n~0

Współczynnik a_n‘^m) zależy od współczynników a₀₎ a_lt a₂, ..., a„ szeregu wyjściowego i jak wynika z (3), otrzymujemy go z nich tylko za pomocą operacji dodawania i mnożenia. Uwaga ta wkrótce nam się przyda.

Teraz zatrzymamy się specjalnie na dodawaniu nieskończonego zbioru szeregów potęgowych, z którym dalej będziemy mieli do czynienia. Niech więc dany będzie ciąg nieskończony szeregów potęgowych

CO

^a«mX« (m = 0,1,2,...).

n=0

Utwórzmy z nich szereg iterowany

(5)

CO CO

ŻE “-*■}•

m=0 n=Ó

Jeżeli dla obranej wartości x jest zbieżny szereg wartości bezwzględnych wszystkich jego wyrazów, to szereg (5) jest także zbieżny, a jego suma A (x) może być rozwinięta w szereg potęgowy przez łączenie wyrazów podobnych, tzn.

00    . CO

„ x", gdzie A„ = V a,,_m (n = 0,1, 2, ...y.

^A ^ ⁼ /Lj ^A

n-0    m-0

Dla dowodu wystarczy powołać się na twierdzehie 3 z ustępu 393.

Zastosowanie tego ważnego twierdzenia zilustrujemy na przykładach.

Przykłady. 1) Rozwinąć funkcje

1+a²

(b) f₂(x) = Y    ■ ■■■ ^a1~— (przyjmując |x| < 1

“ m\ l+a^2,".r²

Hl = 0

i 0 < a < 1) w szeregi względem potęg X. (a) Mamy