1 (30)

36

2. Podstawy topologu

233. Twierdzenie. Przypuśćmy, że K c Y<= X. Zbiór K jest zwarty względem X wtedy , i tylko wtedy, gdy jest zwarty względem Y.

Na mocy tego twierdzenia możemy w wielu przypadkach rozpatrywać zbioryzwarte jako samodzielne przestrzenie metryczne, nie zwracając zupełnie uwagi na zawierającą je prze- I strzeń. W szczególności, chociaż nie ma sensu mówienie o przestrzeniach otwartych i dom- I kniętych (każda przestrzeń metryczna X jest swoim podzbiorem otwartym i swoim podzbio- I rem domkniętym), ma sens pojęcie zwarta przestrzeń metryczna.

Dowód. Załóżmy, że zbiór K jest zwarty względem X. Niech {Vj będzie rodziną I zbiorów otwartych względem Y takich, że K <=fJV_a. Z twierdzenia 2.30 istnieje zbiór G I

otwarty względem Y taki, że V_a= YnG_a dla każdego a; ponieważ K jest zwarty względem X, I mamy

(22)    K c C,₍u.uC_fcI

przy pewnym wyborze skończonej ilości wskaźników^,..., a,. Ponieważ K■ <= Y, więc z (22) I wynika, że

■Riiiiiiiib ł Bmtmmwc.. .:«■»er C

I Uk.

fc'i—x jrl

* ■

(23)

K e

To dowodzi, że K jest zwarty względem Y.

Odwrotnie, załóżmy, że K jest zwarty względem K Niech {G_t} będzie rodziną otwartych podzbiorów przestrzeni X pokrywających K. Przyjmijmy V_a — YnG_e Wówczas będzie spełnione zawieranie (23) przy pewnym wyborze a₀..., <x„; a ponieważ V_a <= G_a, więc z (22) wynika (23).

Twierdzenie zostało udowodnione.

2.34. TWIERDZENIE. Zwarte podzbiory przestrzeni metrycznych są domknięte.

Dowód. Niech K będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej X. Udowodnimy, że dopełnienie zbioru K jest otwartym podzbiorem przestrzeni X.

Załóżmy, że p e X, p $ K. Jeśli q e K, to niech V_p i W_q będą odpowiednio otoczeniami punktów p i q, o promieniu mniejszym niż {d(p, q) (patrz def. 2.18). Ponieważ K jest zwarty, więc istnieje skończona ilość punktów q_u q₂,..., q„ należących do K takich, że K e W_łiv... .uW'_fc at W.

Jeśli V= V_Qin... n    to Kjest otoczeniem punktu p nie przecinającym się z W. Stąd Vcz K^e,

czyli p jest punktem wewnętrznym zbioru K^e. To kończy dowód.

2.35. Twierdzenie. Domknięte podzbiory zbiorów zwartych są zwarte.

Dowód. Przypuśćmy, że F <= K <= X\F jest domknięty (względem X ),aK jest zwarty. Niech {V_a} będzie otwartym pokryciem zbioru F. Jeśli do {V_a} dodamy F^c, to otrzymamy otwarte pokrycie Q zbioru K. Ponieważ K jest zwarty, więc istnieje skończona podrodzina <p rodziny Q pokrywająca zbiór K, a więc i F. Jeśli zbiór F^c wchodzi w skład <p, to możemy F^c odrzucić i otrzymać otwarte pokrycie zbioru F. W ten sposób udowodniliśmy, że skończone podpokrycie pokrycia { V_a} pokrywa F.

pat 3KE-* O*

Wsbdssl

l*. =

Tupie I Dowód. C

■liuiŁi zmor 2JŁ Twia

Ljfcir ń /->

Dowód. Jeś ■ograniczony z

ponieważ x < b,

239. TwiERl k-wymiarowych i Dowód. Niet

i niech I_Hj = [a_ti istnieją liczby rze>