1 (32) 3

38

2. Podstawy topologii

Przyjmując X* = j .a v lc#)» widzimy^ że e /„dla n =    3^ ... Twierdzenie zostało

udowodnione.

2.40.    TWIERDZENIE. Dowolna kostka k-wymiarowa jest zwarta.

Dowód. Niech I będzie kostką k-wymiarową składającą się ze wszystkich punktowi x = (xj, ,.., x_k) takich, że a/< Xj ^ bj (i < / < k). Przyjmijmy

<5 * ii {bj-aj)²li

j=l

Wówczas,|x—y| < 3,jeśli xe Z, y e /.,

Przypuśćmy, że przeciwnie, istnieje otwarte pokrycie. zbioru / nięzawierającej skończonego podpokrycia zbioru I. Przyjmijmy c — łfaj+bj). Przedziały <% ćfi i <c,, bjM definiują wówczas 2* k-wymiarowych kostek Q_h których sumą jest /. Przynajmniej jeden ze zbiorów Q_t nie może być pokryty żadną skończoną podrodziną rodziny G_a (w przeciwnym’ razie kostka / byłaby pokryta). Rozbijmy teraz I_L i przedłużmy ten proces. Otrzymamy ciąg { f„}^! Ó następujących własnościach:

a)    / Ęę si Ij s> |j => ...;

b)    /„ nie daje się pokryć żadną skończoną podrodziną rodziny {(?„}; f c) jeśli x s /„ i yef„, to |x—y| $ 2~”8.

Z a) i twierdzenia 2.39 wynika, że istnieje punkt x*, należący do wszystkich zbiorów /„. Dla pewnego a zachodzi x* e G_a. Ponieważ G„ jest otwarty, więc istnieje r > 0 takie, że z nierówności |y - x*|^;W r wynika y e G_x. Jeśli r jest tak duże, że 2 ~"S < r (takie n istnieje, bo inaczej 2" < i/rdla wszystkich n naturalnych, a to jest niemożliwe), to z c) wynika, że /„ cĄj a tó jest sprzeczne z Warunkiem b)j Dowód jest zakończony.

Równoważność warunków a) i b) jest znana jako twierdzenie Heinego-Borcla.

2.41.    Twierdzenie. Jeśli zbiór E wR^k mą jedną z trzech następujących własności,tó ma ón i dwie pozostałe:

a)    Ejest ograniczony i domknięty;

b)    Ejest zwarty]

c)    każdy nieskończony podzbiór zbioru E ma punkt skupienia należący do E.

Dowód. Jeśli jest spełniony warunek a), to E m /, gdzie / jestpewną kostką k-wymiarową

i warunek b) wynika z twierdzeń 2.40 i 2.35; Twierdzenie 2.37 mówi, żeb) pociąga za sobą c). Należy jeszcze udowodnić, że z c) wynika a).

Jeśli zbiór E nie jest ograniczony, to zawiera punkty x„ spełniając zależność

. |x„J > n (n = 1,2,3,...}.

Zbiór S składający się z punktów x„ jest nieskończony i oczywiście nie ma punktów skupienia w R^k, a tym bardziej w E.

W ten sposób z c) wynika, że zbiór Ejest ograniczony.

Jeśli zbiór E nie jest domknięty, to istnieje punkt x₀ e R^k, który jest punktem skupienia zbioru Ei nie należy do £. Dla ń =* 1, % 3,... istnieją punkty x„ e E takie, że |x„—x₀| < 1/n.