1 (26)

32

2. Podstawy topologii

d(p,q) - r-h.

Dla wszystkich punktów 5 takich, że d(q, s) < h, mamy

d(p, s) < d(p, q)+d(q, s) < r-h+h — r, tak więc se E. A więc q jest punktem wewnętrznym zbioru E.

2.20. TWIERDZENIE. Jeśli p jest punktem skupienia zbioru E, to dowolne otoczenie p zawiera nieskończenie wiele punktów zbioru E.

Dowód. Załóżmy, że istnieje otoczenie N punktu zawierające tylko skończoną ilość punktów zbioru E. Niech punkty q_u..., q_n będą punktami zbioru NnE różnymi od p. Przyjmijmy

r — min d(p, q_m)

1 «««*>

(oznaczamy w ten sposób najmniejszą z liczb d(p, q_t),..., d(p, q„)). Oczywiście minimum zbioru skończonego liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, czyli r > 0.

Otoczenie N_r(p) nie zawiera ani jednego punktu q zbioru E spełniającego warunek q # p, a więc p nie jest punktem skupienia zbioru E. Otrzymana sprzeczność dowodzi twierdzenia.

WNIOSEK. Skończony zbiór punktów nie ma punktów skupienia.

2.21. Przykłady. Rozpatrzymy następujące podzbiory przestrzeni R².

a)    Zbiór wszystkich liczb zespolonych z takich, że jzf <1.

b)    Zbiór wszystkich liczb zespolonych z takich, że |z| < 1.

c)    Pewien zbiór skończony,

d)    Zbiór wszystkich liczb całkowitych.

e)    Zbiór składający się z liczb 1/n (n = 1,2,3,...). Zauważmy, że ostatni zbiór E ma punkt skupienia (jest nim z = 0), ale żaden punkt zbioru E nie jest jego punktem skupienia. Chcemy j podkreślić różnicę między posiadaniem punktu skupienia a zawieraniem go.

I) Zbiór wszystkich liczb zespolonych (tj. R²). g) Przedział (a, b).

Zauważmy, że d), ej, g) mogą być rozpatrywane jako podzbiory R^l.

Pewne własności tych zbiorów są podane w następującej tabeli:

	Domknięty	Otwarty	Doskonały	Ograniczony
a)	Nie	Tak	Nie	Tak
^b)	Tak	Nie	Tak	Tak
	Tak	Nie	Nie	Tak
d)	Jak	Nie	Nie	Ńie
e)	Nie	Nie	Nie	Tak
0	Tak	Tak	Tak	Nie
g)	Nie		Nie	Tak

W wierszu g) nie jest zapełniona druga kolumna. Jest to spowodowane tym, że przedział (a,b)mejest otwarty, jeśli rozpatrujemy go jako podzbiór R²; ale jest zbiorem otwartym jako podzbiór zbioru R¹.

3 - Podstawy analizy i