1 (20) 2

26

2. Podstawy topologii

2.4.    Definicja. Niech dla dowolnej liczby naturalnej n J„ będzie zbiorem, którego elementami są liczby całkowite 1,2,..., n; niech J składa się ze wszystkich liczb naturalnych? i niech A będzie dowolnym zbiorem; mówimy wtedy, że

a) A jest skończony, jeśli A~J„ dla pewnego n (zbiór pusty jest także skończony); jest nieskończony, jeśli nie jest skończony;    ,,

'    e)~ A jest przeliczalny, jeśli A

d)    A jest nieprzeliczalny, jeśli nie jest skończony i nie jest przeliczalny.

e)    A jest co najwyżej przeliczalny, jeśli A jest albo skończony, albo przeliczalny.

Jeśli A i B są zbiorami skończonymi, to oczywiście /ł~ił zachodzi wtedy i tylko wtedy,-; gdy A i B składają się z tej samej ilości elementów. Jednak dla zbiorów nieskończony^! znaczenie słów „mają tę samą ilość elementów” jest bardzo niejasne. Zostanie ono bliżej określone za pomocą pojęcia 1:1 odpowiedniości.

2.5.    Przykład. Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb całkowitych. vl jest zbiorem przeliczalnym. Rzeczywiście, rozpatrzmy następujące uporządkowanie zbiorów A i J:

W tym przykładzie możemy pokazać jawnie wzór na odwzorowanie / zbioru J na A, ustalając 1: 1 odpowiedniość między tylni zbiorami:

IBwt a, be

I 23. DEFINM

■nam.

I Zbucr. która Ł ,|iir 11 ITT zbioró zbiór ó* jrflł Itlfij QlS

fes: A składa się

2.6.    Uwaga. Zbiór skończony nie może być równolićzny ze swoim podzbiorem właściwym. Jednak dla zbiorów nieskończonych jest td’*możIfWe, jak wyjaśnia przykładali w którym J jest podzbiorem właściwym A.

Rzeczywiście, możemy zastąpić definicję 2.4b) następującym twierdzeniem: A jest nieskończony, jeśli A jest równolićzny ze swoim podzbiorem właściwym.

2.7.    DEFINICJA. Ciągiem nazywamy funkcję / określoną na zbiorze J wszystkich liczb naturalnych. Jeśli f(n) s x„ dla ne J, to przyjęto oznaczać / symbolem {x„} lub czasem Xi, x₂, X3, ... Wartości funkcji /, tj. elementy x_m nazywamy, wyrazami ciągu. Jeśli A jest pewnym zbiorem i jeśli x„ e Ą dla wszystkich n ę/, to {x„} nazywamy ciągiem w A lub ciągiem elementów zbioru A.

Zauważmy, że wyrazy x₁’, xi, x₃,... ciągu nie muszą być różne.

Ponieważ każdy zbiór przeliczalny może być zbiorem wartości pewnej lii funkcji określonej na J, możemy rozpatrywać każdyzfiiófjprzeiiezatóy jako zbiór wartości pewnego ciągu o różnych wyrazach. Mówiąc nieściśle, elementy dowolnego zbioru przeliczalnego można „ustawić w ciąg”.

Czasami jest wygodniej zastąpić w powyższej definicji zbiór J zbiorem nieujemnych liczb całkowitych, tj. zaczynać od 0, a nie od 1.

2.8.    TWIERDZENIE. Każdy nieskończony podzbiór zbióru przeliczalnego A jest przeliczalny. ....

ifegi A jest zbion

Symbol co w | Bsylić go z symbo Iloczynem rod gdy xeE_t dla kai

lab

(6)

lub

CO