9773562921

Zatem dla dowolnej liczby naturalnej m ^ 1 mamy e* = ej" = j • /3J™. Porównując współczynniki przy 1 € G otrzymujemy = (]cf J • 7m> zatem |G|^m_1 = nj" ² • 7_m dla pewnych całkowitych Uczb algebraicznych 7_m 6 Z[e]. Z powyższej równości wynika jednak, że 7_m są liczbami wymiernymi, więc 7m € Z[e] n Q = Z. Wobec

_nm-2||_G|^m-i _{dk m}^₁

Niech p“, p" będą największymi potęgami ustalonej liczby pierwszej p, dzielącymi odpowiednio nt oraz |G|. Zatem a(m — 2) < b(m — 1) dla m > 1, skąd a < b ■ ^1 + ^35^ dla m ^ 3. Wynika stąd a^b, dla dowolnej liczby pierwszej p. Zatem rtj |G|. □

Pokażemy ładne zastosowanie tych wstępnych wiadomości o CG-modułach do rozwiązania klasycznego problemu algebraicznego.

Zacznijmy od znanej tożsamości:

(x? + x²)(y² + y²) = {x_xyi - x₂\l₂)² + (xiy₂ + x₂y_x)²,

która wynika z tożsamości dla liczb zespolonych |zi|² • |z2|² = \z\ • Z2|²- Podobna relacja dla kwaternionów prowadzi do tożsamości

(x\ + x\ + x§ + x²)(y² + y₂+y₃ + y₄) = {x₄y_x - x₂y₂ - x₃y₃ - x₄y₄)²+

(xiy₂ + x₂yi + x₂yi + x₃y₄ - x₄y₃)² + (x₄y₃ - x₂y₄ + x₃y_x + x₄y₂)² + {x_xy₄ + x₂y₃ - x₃y₂ + x₄yi)².

Istnieje też podobna tożsamość dla 8 zmiennych, odkryta w 1818 roku przez Duńczyka Ferdynanda Degena i odkryta ponownie przez Artura Cayleya w 1845 r.:

(x² + x² + x² + x² + x² + x²+x²+x²)(y² + y² + y²+y²4+y²+y² + y²7+y²) =

(xiyi - x₂y₂ - x₃y₃ - x₄y₄ - x₅y₅ - x₆y₆ - x₇y₇ - x₈y₈)²+ {x₂yi + x₄y₂ + x₄y₃ - x₃y₄ + x₆y₅ - x₅y₆ - x_sy₇ + x₇y₈)²+ (x₃yi - x₄y₂ + xiy₃ + x₂y₄ + x₇y₅ + x₈y_e - x₅y₇ - x₈y₈)²+ (x₄yi + x₃y₂ - x₂y₃ + x_xy₄ + x₈y₅ - x₇y_e + x₆y₇ - x₅y₈)²+ (x₅j/i - x₈y₂ - x₇y₃ - x₈y₄ + x_xy₅ + x₂y₆ + x₃y₇ + x₄y₈)²+ (x₈yi + x₅y₂ - x₈y₃ + x₇y₄ - x₂y₅ + 37y₆ - x₄y₇ + x₃y₈)²+ {x₇yi + x₈y₂ + x₆y₃ - x₆y₄ - x₃y₅ + x₄y₆ + x_xy₇ - x₂y₈)²+ {x₈yi - x₇y₂ -I- x₇y₃ + x₅y₄ - x₄y₅ - x₃y₈ + x₂y₇ + xiy₈)².

Te trzy tożsamości mają wspólną postać

(x²i + ■ ■ ■ + z²)(y? + • • • + y²n) = z\ + • ■ • + z²,

gdzie każde z*, 1 < i ^ n, jest formą dwuliniową od zmiennych x_x,...,x„,y_x.... ,y_n. Formy te określają odpowiednio w przestrzeni R², R⁴, R⁸ dwulinowe mnożenie, które, na mocy odpowiedniej z powyższych tożsamości, w szczególności spełniają warunek

= 2,3,8.

(xi,X2, ■ • . , X«) ■ (xi, — X2,. .., — X_n) = (x² H-----h X²,0,. .. , 0),