skanuj0038 (2)

Ponieważ —1 < sinn < 1, więc — 5 < 5sinn < 5. Ponadto 0 < ^ < 10, zatem dla dowolnego n G N₊ zachodzą nierówności:

15 < 5 sin n + — 4- 20 < 35.

n

Ćwiczenie 6

Wykaż, że ciąg (a_n) jest ograniczony.

aj a_n = 6 • 2~ⁿ + 2cos n^{1 2}    b) a_n =    ^ + 2004

Zadania

1.    Podaj przykłady liczb ograniczających ciąg (a_n) z góry.

a) a_n — —n + 10    b) a_n = —3n + 9    c) a_ri = -n² 4-8 d) a_n = —2ⁿ

2.    Podaj przykłady liczb ograniczających ciąg (a_n) z dołu.

a) a_n = 4n 4- 5    b) a_n = n² — 16    c) a_n — n² — lOn 4- 16

3.    Oblicz pięć początkowych wyrazów ciągu (a_n). Czy ciąg jest ograniczony z góry? Czy jest ograniczony z dołu?

i)    a_n = (—2)ⁿ

j)    a_n = (—2)ⁿ + sin 4^

k)    a_n = 4 4-

l)    a_n = sin n — 6 cos n

a)    a_n = —5n 4-6    e)    a_n — — 5 4-    ^

b)    a_n — 7n + 2    f)    o_n = 1 - J

c)    a_n = n² - lOOn    g)    a_n =

d)    a_n = -n^{3 4 5 6} + 4    h)    o_rt =    ~^2Q^⁺¹

4.    Definicję ciągu ograniczonego można sformułować w następujący sposób:

1

Ciąg (a_n) jest ograniczony, jeśli istnieje liczba M taka, że \a_n\ < M

2

dla każdego n <G N+.

3

Dla jakiej wartości M ciąg (a_n) spełnia warunek podany w powyższej

4

definicji, jeśli wszystkie jego wyrazy należą do przedziału (—13,10)?

5

   Niech a_n — 1 4- Czy ciąg (b_n) jest ograniczony?

9*) bn — ci_n 2    b) b_n — 2a_n 4- 4    c) b_n — 3(077.) 4- 1

6

   Niech a_n = n 4- 1. Czy ciąg (b_n) jest ograniczony?

1 1

a) b_n = —10 sin a_n    ^b) b_n = —    c) b_n = —

Zadania uzupełniające: 21-26, s. 231-232 4.5. Ciągi ograniczone 189