str034

73

73

dla

Niech x 6 [0,1). Wtedy istnieje n₀ € N, że x 6 Qn₀■ Zatem dla'dowolnego n > n₀, x £ Q_n, więc x £ (J”_n Qt dla dowolnego n > n₀. A stąd /„(x) = 0 dla n > n_0l czyJi lim„—«> /n(*J = 0.

Przypuśćmy, że istnieje zbiór mierzalny E taki, że

W

na E

fn=tO

,dz\e p oznacza miarę Lebesgue’a.

atem istnieje takie n₀ 6 N, że dla dowolnego n 6 N, n > no i dla dowolnego

<mamy f_n(x) = 0. Ale

dla X e U"="o^l Qi> dla x e Uiln Pi

lika, że dla dowolnego n > n_Q, E C U?^¹ Qi> ^wi?^c f°> 1) - E O UnU Q<-1]^_ E) > /^ł‘(USn Qi) - l*‘[Qn) = o, co jest sprzeczne z (1). ^Otrzymaliśmy więc, że w przypadku ciągu {/_n}_ngfł nie zachodzi teza twierdze-^Jęjjbrowa. Zauważmy, że funkcje /„ sąmiemierzalne (patrz rozwiązanie zadania

llfe

«188. Przypuśćmy, że jest spełniony warunek (*). Niech M = 2. Oczywiście #< ju(N) = 2 oraz /„ — 0 na zbiorze M. Mamy /„ r: 0 na zbiorze E₀ i p'(£₀) > §, |a2więc_:Eo = N, bo

p*(A) =

dla

dla

dla

A = 0, ACM, A = N.

A^0,

/

jednostajnej zbieżności /„ na zbiorze N, wynika, że istnieje takie n₀ 6 H, że = 0 dla dowolnego x € M i dowolnego n > no- Ustalmy n > n₀. Wtedy %.) ⁼ 1 dla x > n, co daje nam sprzeczność. Wykazaliśmy, że ciąg {/_n}nen nie Selma warunku (*).

189. Niech /„ =    ' niech p będzie miarą Lebesgue’a w R. Wystarczy po-

Eo = (—oo, 1). Wtedy /„ =j 0 na Eo i oczywiście p(£o) > M dla dowolnego p(K) = oo. Ciąg /„ spełnia więc warunek (*) z zadania 188. Natomiast nie pełnia tezy twierdzenia Jegorowa (patrz zadanie 186).

£190. Niech X = {x_n}_n6n. Z założenia wynika, że istnieje zbiór A C X taki, Wji. —^k / na X — /I i p*(A) = 0. Niech At = {xi,*a,... ,xi-} - A. Mamy pC Ajt+i dla dowolnego k 6 N oraz lim*-,* A* = X - A. Stąd limfc_oo P*(A*) = li-ooAt) = p*(/Y - A) = p(X). Dla dowolnego M < p(A") istnieje takie N, że dla dowolnego k > ko zachodzi p"(Ajt) > M. Połóżmy Eo = A*₀. pDiót jBo jest zbiorem skończonym, więc /„ jest zbieżny jednostajnie do / na Eo-prdówodniliśmy, że jest spełniony warunek (*) z zadania 188.

M191. Niech X =N,

Niech {f_n}r,en będzie ciągiem funkcji zdefiniowanym w zadaniu 188. Wtedy /„ _ o na PI. Miara zewnętrzna p* jako regularna (patrz zadanie 20) spełnia warunek (II) z zadania 26. a więc na podstawie zadania 190 zachodzi warunek (*) z zadania 188. Natomiast teza twierdzenia Jegorowa nie jest spełniona, ponieważ jedynymi zbiorami mierzalnymi jest zbiór pusty i przestrzeń X, a /„ nie jest zbieżny jednostajnie na PI (patrz zadanie 188).

192.    Na podstawie zadania 188 istnieje zbiór E = \J°1₁ Ej taki, że p(X - E) = 0 i }n — S na Ei dla i = 1,2,... Połóżmy Ht = ULidla k = 1,2,... Wtedy H{X) = limt-co n(Hh) i f_n =* / na H_k dla k =1,2,.... Stąd dla dowolnego M < i*[.X) istnieje k₀ £ M takie,ie p(/fs₀) > M i /„ =3 / na H_ko. Wykazaliśmy, że jest spełniony warunek (*) z zadania 188.

193.    Z założenia wynika, że dla dowolnego m£fl istnieje zbiór mierzalny A_m taki, że /„ =: / na zbiorze X - A_m i /j(.4_m) < i. Niech .4 = Hm=i ^m- Wtedy /„ -» / na zbiorze X - A i n{A) = /i(f|rn=i ^”0 = 0. A więc f_n — f (prawie wszędzie).

194.    Niech będzie dane s > 0. Oznaczmy B_n = {x : |/_n(x) — /(x)| > s}. Niech c będzie daną liczbą dodatnią. Wówczas istnieje liczba m £ H taka, że i < _ff. Na podstawie założenia istnieje taki zbiór mierzalny A_m, że /„ =J / na X —

i n{A_m) < Stąd istnieje no € PI takie, że dla dowolnego naturalnego n > n₀ i dla dowolnego x £ A' - A_m zachodzi |/_n(x) - /(x)| < £. Zatem S„ C A_m dla n > no, więc n(B„) < <r dla n > n₀. Z dowolności e > 0 i a > 0 mamy, że ciąg {fn }ns!i jest zbieżny według miary do /.

195.    Ze zbieżności jednostajnej prawie wszędzie wynika zbieżność prawie jednostajna. Odwrotne wynikanie nie jest prawdziwe (patrz rozwiązanie zadania 182).

196.    Z warunków zadania wynika, że dla dowolnego 6_m = A, m € PI, istnieje zbiór E_m taki, że fi(E_m) < A. Niech E = n„₌i E_m- Wtedy p(E) = 0. Ponadto, jeśli z £ X - E, to istnieje takie m₀ £ N, że x £ X - E_ma. Z założenia istnieje takie n₀ € PI, że dla wszystkich m,n > n₀ oraz z £ X-E_ma zachodzi |/_m(x)-/„(x)| < £■ Stąd wynika, że istnieje lim_n-,oo fn(x) dla każdego x £ X - E. Niech

lim„_₀₀ fn(x) 0

rs

dla x 6 X - E dla x £ E.

Z warunków zadania wynika, że /„ =} f na X - E_m dla dowolnego m € PI. Stąd wynika, że /„ —• / (prawie jednostajnie).

197.    Wskafówka: skorzystać z zadania 159.

198.    Na podstawie twierdzenia Luzina dla dowolnego n £ PI istnieje zbiór domknięty F_n C A taki, że f\F_n jest funkcją ciągłą i n(A - F_n) < L. Wtedy zbiory Hn = U"=i fi ^sai domknięte i funkcje f\H„ są ciągle dla n 6 K. Niech H = |j!T=i ^Hn, wtedy [i(A — H) — 0 i H jest zbiorem typu FNiech /„ będzie ciągłym przedłużeniem na R" funkcji f\H_n. Funkcje /„ istnieją na podstawie twierdzenia Tietzego: „Każda funkcja ciągła / o wartościach rzeczywistych określona na domkniętym podzbiorze F przestrzeni metrycznej X daje się przedłużyć na całą przestrzeń X, tzn. istnieje funkcja /* o wartościach rzeczywistych określona na całej przestrzeni X, ciągła i taka, że f‘(x) = f(x) dla x £ F”. Zauważmy, że /„ -* / na ff. Zatem f\H jest funkcją pierwszej klasy Baire’a.

-,_v£|