46872 PB032268

134

Za Mmożna przyjąć każdą liczbę mniejszą od —. Niech M = —, wtedy dla -,

E    _S_    ^RaZQeJ IW

Granią

turalnej n > M — - zachodzi nierówność \a_n — g\ < e, czyli |—⁺*. ~ 3| < e,

a to oznacza, że liczba 3 jest granicą ciągu a_n =

3#i+lH

3w+l

Wykazaliśmy zatem, że lim —— = 3.

"-+*> n

A

W powyższym przykładzie dla e = 10 ¹ mamy M — 1000, to znaczy, że wszystkie ^ ciągu a„ = ⁿ⁺ , począwszy od 1001 wyrazu, należą do otoczenia liczby 3 o pronugw

i | io^-3.

TWIERDZENIE 2.15 (O GRANICY CIĄGU STAŁEGO)

Granica ciągu stałego (c) = (c, c, c,...) jest równa stałej c, tzn. lim c = c.

• Ciągi rozbieżne do nieskończoności

Ciąg nieskończony, który nie ma granicy, nazywamy ciągiem rozbieżnym.

DEFINICJA 2.14

Ciąg (a„) nazywamy rozbieżnym do plus nieskończoności i piszemy lim a,    ®

i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby Mprawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od łł.

1	_ 2^2	11	_ 3^2 3 4	„ 1	4^4	, 1
a. = -, a, ^1 2 ^2	2+1	1-, a, 3 ^3	~ 3 + 1 ~	2-, a4	4+r	= 3^, c5	5+l^_ <’
6^4	, 1	_ 7^1	11	8^5	* i	9^2	s 1
a.e =-=	= 5-, a7		■ 6—, a,		= 7—, a,	—--=	O- 5 >
^6 6+1	7 ^7	~ 7+1 ~	8 *	~I+T”	9 ^9	9+1	10

1

n + 1

2

Przykłady:

3

   Ciąg o wyrazie ogólnym a„ = 3", czyli ciąg (3,9,27,81,243,...), jest rozbieżny do tąi zapisujemy lim 3" =+oe>.

l»-*oo

n⁶    A

4

   Ciąg o wyrazie ogólnym a =-, czyli ciąg, którego wyrazami są:

5

«-»“/» + l

6

jest rozbieżny do +ao, co zapisujemy lim-= oo.