img097

97

czas z twierdzenia 7.3 wynika. że istnieje teka stała C> O, że Q(h)>Clhl² dla h€Rⁿ. Ale ^(h)—■¹-0, gdy 1 h I _n—►O, zates dla każdej liczby > 0 i takiej . że C - Cj > 0 istnieje r - r(Cj) > 0 takie, że | ^(h)| < C - Cj dla I hi_n < r. A więc

n n    ₂

? E E 3x7&S'“ ^(a)hi^hJ ⁺^(^h)^,h,n > ^(C -1<»¹))lHl?>C_llhfJ

i¹l J-l ^{1    3}

dla I hI _n > r

Pokazaliśmy więc, że Jeśli druga różniczka d²f(a) jeat foraę kwadra-cowę dodatnio określonę, to Al - df(a) > 0 dla 0<lhl_n< r co oznacza, że dla xeK(a,r)- (aj wykres w funkcji f leży nad płaszczyznę ftatycznę do w w punkcie a. Z wcześniejszych wykładów wiewy, że płaszczyzna tt ma równanie

x

o

(*i“*i) ♦ f(«)

(8.5)

Podobnie nożna stwierdzić, że Jeśli forma d²f(e) Jest określona ujemnie, to istnieje kula K(«,r₁)cRⁿ, że dla x£K(a,r₁)- {a} wykres w funkcji f leży pod płaszczyznę stycznę o równaniu (8.5).

-1 w końcu. Jeśli druga różniczka d²f(a) Jest nieokreślone, to w każdej kuli o środku w punkcie a część wykresu w leży pod, a część nad płaszczyznę 3T o równaniu (8.5).

Przykład

Niech f:R²a (x.y) —► xy ♦ i ♦ A . Wówczas dla każdego punktu (x,y) nie leżęcego na osiach ukłedu współrzędnych, masy

f£ (x.v)

(¹.v) -

dx^z    x³

A (».») - 23

dy

(x,y) ■ i ■

a²f

“5x3y"

(x,y)

oraz

strona czyzny Cji f

1

^5 i O m -⁴- - 1 « ¹    (zofiacz kryterium Sylvestera,

x    x y    x y^a

86). Na rysunku 6 pokazano Jak w poszczególnych częściach płasz-R² zmieniaję się znaki i D₂ oraz Jak przebiega wykres funk-w stosunku do płaszczyzny styoznej.