img044 (37)

49

Z podanego twierdzenia 3.2 wynika że:

—    ciąg kolejnych przybliżeń (x₍₄₎)_t-₀,i,2, . zdefiniowany formułą (3.46) jest zbieżny do danego pierwiastka x rozwiązywanego równania (3.1) dla każdego punktu początkowego dla iteracji położonego dostatecznie blisko x* (zakłada się tu, że x jest pierwiastkiem pojedynczym, tzn .f\x) ^ 0);

—    jeżeli x* jest pierwiastkiem pojedynczym danego równania (3.1), to rząd zbieżności algorytmu stycznych wynosi dwa, a więc jest wyższy niż dla obu poprzednio omawianych metod; jeżeli x* jest pierwiastkiem krotności >1, to rząd zbieżności algorytmu maleje [8],

Jednym z ograniczeń metody stycznych, jak też i innych metod iteracyjnych rozwiązywania równań algebraicznych postaci ogólnej jest to, że po wyznaczeniu pewnego rozwiązania równania nie wiadomo jeszcze, czy jest to rozwiązanie jedyne, czy też jest jednym z wielu pierwiastków danego równania. Istnieją tu twierdzenia dotyczące określenia ilości pierwiastków rzeczywistych równania, jak też ich przybliżonej lokalizacji. Odnoszą się one jednak do równań szczególnej postaci (3.2), z funkcjąy(-) będącą wielomianem zmiennej x [8,21],

Wyjściem z sytuacji jest tu oczywiście analiza ciągów kolejnych przybliżeń dla wielu rożnych punktów początkowych. Inną możliwością w przypadku równań mających wieloelementowy zbiór pierwiastków jest wykorzystanie algorytmów, w których funkcja /(•) występująca w równaniu jest aproksymowana odcinkowo-liniowo [6] lub odcinkowo funkcjami wielomianowymi stopnia 2 lub 3.

Metoda stycznych posiada bezpośrednie uogólnienie dla układów równań. W sformu-: rwaniu uogólnionym nosi ona nazwę metody Newtona-Raphsona i jest tematem podrozdziału 3.2.2.

3.2. Metoda iteracji prostej i metoda Newtona-Raphsona

3.2.1. Metoda iteracji prostej

Algorytm iteracji prostej jest podstawowym algorytmem przybliżonego wyznaczania rozwiązań układów równań nieliniowych. Rozwiązania otrzymuje się tu jako punkty graniczne odpowiednio skonstruowanych ciągów kolejnych przybliżeń. Algorytm iteracji prostej należy zatem do grupy algorytmów nieskończonych, gdzie wynik otrzymuje się w granicy, dla liczby kroków algorytmu zmierzającej do nieskończoności. Ze względu na rrostą konstrukcję oraz uniwersalność zastosowań ma on podstawowe znaczenie zarówno w analizie numerycznej jak też w rozważaniach teoretycznych, gdzie jest często wykorzystywany jako element konstrukcji dowodów twierdzeń. Znaczenie algorytmu iteracji prostej cła rozważań teoretycznych wiąże się z jego bezpośrednim związkiem z ważną i obszerną grupą twierdzeń o punktach stałych odwzorowań.