DSC07377

172

Krzywe stożkowe

Z warunku styczności prostej do elipsy, podanego w przykładzie b) wynika, że każdy z układów równań

f V = im + ó. j y = mi + 6, l *^a + 6y^a = 0,    \ 9x^J + 4y^a = 36

muń mieć tylko jedno rozwiązanie. Tak będzie, gdy równania kwadratowe w równoważnych postaciach powyższych układów

J ysmrłk    J y = nu + b,

[ (6m^ł + l) x* + 12m&z + 86^a — 6 = 0.    { (W + 9) x^a + 8m&r + 4fc^a - 36 = 0.

będą miały zerowe wyróżniki. Wyróżnik pierwszego równania kwadratowego ma postać A, = (12m6)^a - 4 (0m^a + l) (66^a - fl) ,

a drugiego

= (8mó)^a - 4 (4m^a + 9) (46^a - 38) .

Stąd mamy układ równań

f 8m^a - b⁷ + 1 = 0,

1 4m^a - 6* + 9 = 0.

Rozwiązaniem tego układu są pary:

fm = 2,    f m = 2,    f m = -2,    fm= -2,

\ 6= 5;    \fc=-5;    \ó = 5;    \ 6 = -5.

Wspólne styczne obu elips mają zatem równania:

p = 2* + 5, y = 2x — 5, y = —2* + 5, y = —2z — 5.

Hiperbola • Przykład 6.5

a)    Znaleźć równanie hiperboli o ogniskach Fi = (—3,1), /tj = (7,1), której jedno z ramion przechodzi przez punkt P = (8,1 + 4i/Ś);

b)    Punkty .4 — (24,5^3), fi = (12n/5, 10) należą do hiperboli, której osiami symetrii są asie układu współrzędnych. Wyznaczyć współrzędne ognisk oraz równania asymptot tej hiperboli;

c)    Obliczyć współrzędne wierzchołków oraz mimoóród hiperboli

9x* + 30x — 1 flp² + 96 — 252 = 0;

d)    Wierzchołki trójkąta równobocznego należą do hiperboli X³ —y¹ = 4, przy czym jedym z nich jest wierzchołek prawej gałęzi hiperboli. Znaleźć współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta;

e)    Pokazać, ze miejscem geometrycznym środków kół stycznych zewnętrznie do dwóch ustalonych rozłącznych kół o różnych promieniach jest hiperbola.

Przykłady

Rozwiązanie    .    . r . _    ,    ,

a) Równanie hiperboli o środku (zo.yo), osi rzeczywistej 2a oraz urojonej 26 ma postać

(z — zo)^a (v — yo)^a _,

S⁵ _: i    ~

Najpierw znajdziemy współrzędne środka S = (zo.yo) hiperboli. Ponieważ pokrywa się on ze środkiem odcinka łączącego ogniska hiperboli, więc

-3+7    _    1+1    .

*o=—5— = 2,    yo = —= 1.

Wyznaczymy teraz ogniskową i następnie osie hiperboli. Korzystając ze wzorów

2c=|FiF_a|,

2a=||PFi|HPFa||,

26 = 2y/c³-a?

otrzymamy kolejno

= \/(7 - (-3))^a + (1 - 1)3 = 10,

^2q = y/(8-(-3))^a+(l+4v'F-l)^a- \J{8— 7)^a + (l +4v^/5-l)^a| =8,

26 =    - Ą7 ₌ 6

Równanie hiperboli ma zatem postać

(z-2)^a (y - l)^a

16    9" I

b) Równanie hiperboli, której osie symetrii pokrywają się z osiami układu, ma postać

i iB

ą³ 6* “ ’

gdzie a, b oznaczają pólosie hiperboli. Wyznaczymy stale a i 6. Ponieważ hiperbola przechodzi przez punkty A = (24,5\/§), S = (l2i/S, 10), więc mnmy układ równać

576	- = 1, 63 ’
a*
720	100
a?	^- ^= 1

{

Rozwiązaniem tego układu jest para a = 12, 6 = S (pozostałe rozwiązania odrzucamy, bo a i b muszą być dodatnie). Obliczymy teraz ogniskową hiperboli. Mamy

2c = 2 y/a³ + P = 2y/W+S* = 26,

zatem ognisko hiperboli mają współrzędne:

Fi = (-c,0) = (-13,0), Fi = (c,0) = (13,0).

Znając długości osi hiperboli możemy napisać równania aaymptot. Mamy

V ---x = -—X,

a    12 5

6 S