DSC07378

174

Krzywe stożkowe

c) Przekształcimy rozważane równanie do postaci

(» - x₀)^a _ (y ~ yo)^a _ a²    .    63

z której można odczytać współrzędne środka i półosie hiperboli. Ponieważ

9*³ -i- 36x - 16y^a + 96y - 252 = 9 (x^a + 4x + 4) - 36 - 16 (y^a - 6y + 9) + 144 - 252

= 9 (x + 2)^a — 16 (y — 3)^a — 144 = 0, więc równanie hiperboli można przepisać w postaci

(» + 2)^a    (y — 3)^a .

4^a    3|    ~ ^ł*

Zatem środkiem hiperboli jest punkt (xo,yo) = (—2,3), a jej półosie są równe a = 4, 6 = 3. Możemy teraz wyznaczyć współrzędne wierzchołków U i V hiperboli. Mamy

U = (*₀ - a, yo) = (-2 -4,3) = (-6,3)

oraz

V = (xo + a,yo) = (-2 +4,3) = (-2,3).

Na końcu obliczymy mimośród hiperboli. Mamy

_ _ c _ Va* + P _ y/4³ + 3^a _ 5 a    £    4    4

d) Niech A będzie wierzchołkiem prawej gałęzi hiperboli, który jest także jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego ABC.

Z faktu, że oś Ox jest osią symetrii hiperboli wynika, że będzie ona także osią symetrii trójkąta równobocznego. To oznacza, że odcinek AB tworzy z dodatnią częścią osi Ox

kąt —. Prosta AB ma zatem równanie 0

y = -^(*-2).

Wyznaczymy teraz współrzędne punktu 3. Spełniają one układ równań

\y—

Przykłady

Rozwiązaniem tego układu są pary

* = —4,

V = 2v/3.

Pozostałymi wierzchołkami trójkąta równobocznego są B = (—4,2\/5), C7 = (—4, — 2y/Ś). e) Niech dane koła mają środki Si i So oraz promienie odpowiednio r i R, przy czym r < R oraz |5iSa| > r + R. Ponadto niech S oznacza środek, a z bieżący promień ruchomego koła stycznego zewnętrznie do obu kół.

Pokażemy, że zbiór środków S jest jedną gałęzią hiperboli o ogniskach Si, S_a. Z warunku styczności zewnętrznej kół wynikają równości

|SSi| = r + x, |SSa| = fl + *.

Stąd

|SSa| - |SSi| = (71 + x) - (r + x) = R - r = const.

Środki kół stycznych zewnętrznie do obu ustalonych kół spełniają warunek określający hiperbolę; wartość bezwzględna różnicy odległości od ognisk jest stała. Ponieważ w warunku nie występuje wartość bezwzględna, więc zbiorem środków kół jest gałąź hiperboli ^obejmująca¹' kolo o mniejszym promieniu.

• Przykład 6.6

a)    Napisać równanie stycznej hiperboli xy = 12 w należącym do niej punkcie

| =(2,6);

b)    Znaleźć równania wszystkich stycznych do hiperboli 4x³ — y¹ = 4 poprowadzonych z punktu P = (1,4);

_m

c)    Na prawej gałęzi hiperboli o równaniu —--— = 1 znaleźć punkt położony

najbliżej prostej y = x;

dj Pokazać, że punkt styczności prostej i hiperboli jest środkiem odcinka stycznej zawartego między asymptotami hiperboli.