7696131554

(4) Przekształcić układ zredukowany A-X = B do postaci bazowej układu zredukowanego, czyli:

Ab * Xb + An • Xj^ — B    Ag * Xg — B — Aj^ • X]m

gdzie:    X« - wektor niewiadomych bazowych/głównych (.v„)

Xn - wektor niewiadomych niebazowych/swobodnych (/„)

Au - macierz, której kolumny są współczynnikami przy niewiadomych bazowych A_n - macierz, której kolumny są współczynnikami przy niewiadomych niebazowych B - wektor wyrazów wolnych układu zredukowanego Dla każdej bazowej postaci układu zredukowanego Ab zachodzi: det Au *0 (układ kranie rawski ze względu na niewiadome bazowe)

(5) Rozwiązać względem niewiadomych bazowych (czyli składowych wektora) bazową postać układu zredukowanego, np. metodą Cramera macierzy odwrotnej. Niewiadome niebazowe (t„) można traktować jako parametry.

Przykład

(^X1	+ 3x2 + x3 — 9xą = 10
<2x1 + 9x2 + 7x3		- 21x4 =	= 9	=> U	=	[A|B] =
	x1 — 2x2 + 7x4	= -7
	*1 X2 x3 A'4	b		*1	*2	*3 Xą
	13 1-9	1 10		1	3	1 -9
	0 3 5 -3	1 -11	1 ~	0	1	1 -2
	0 11-2	1 3		0	3	5 -3

*1 *2 *3 1 3 1-9		1	0 10 '	•(-2)	1
2 9	7 -21 |		9	J	1 ~
-1 -2	0 7	1	-7		J
b		*1		*3 x4	b
10	1	1	0	-2 -3	1 1
3	• (—3)^m	0	1	1 -2	1 3
-U.	J	0	0	2 3	| -20

R(U) = R(A)=3<rc=4    ■=> układ ma nieskończenie wiele rozwiązali

zależnycłi od 1 parametru ł = x< (tw\ Kronecke ra-Ca pełł ego)

	Wj
*1	” w^-
	w2
*2	"w
	_w3
*3	w
Xą	= te e

*2

*3

•=>

x_x = -19

X₂ = 3,51 + 13 np. dla r = o x₃ = —l,5t — 10 *₄ = t e R

(*! = -19 I X₂ = 13

I *3 = — 10

{*4 = 0

*1 X₂ X₃ t = *4 b

	1	0 -2 I	3	1		Xi -\- 0x2 — 2X3 — 3t -ł- 1	1	CM 1 0
/V	0	1 1 |	2	3	0	0xx + x2 + x3 = 2t -1- 3 •=> W =	0	1 1
	0	0 2 I	-3	-20		0xx + 0x2 + 3x3 = -3t - 20	0	0 2

	3t + 1 0-2			1 3t+l -2			10 3t + 1
li <T	2t + 3 11	=	II 3?	0 2t + 3 1	=	II £	0 1 2t + 3
	—3t - 20 0 2			CM O CO I 4-i CO 1 0			0 0 1 00 «*+ 1 w 0
= 2(31 + 1) + 2(-3t-20) =			= 2(2t + 3) — (— 3t -20) =			= -	-3t — 20
= -38			= 7t + 26

Xi

-38

~2~

7t + 26

2

-3t — 20 2

Omawiany układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony), które otrzymujemy podstawiając dowolne liczby rzeczywiste w miejsce parametru t. Podstawiając np. zero w miejsce parametru t (czyli x4). otrzymamy rozwiązanie bazowe układu równali - pozostałe rozwiązania bazowe otrzymamy podstawiając analogicznie zero za: xi, x₂, xj.

Rodzaje rozwiązali układów równań liniowych nieoznaczonych:

a.    Ogólne - rozwiązanie, w którym niewiadome bazowe są funkcjami niewiadomych niebazowych.

b.    Szczególne - takie rozwiązanie ogólne układu, w którym przyjęto dowolne, lecz ustalone wartości niewiadomych bazowych (.v„).

c.    Bazowe - takie rozwiązanie szczególne, w którym przyjęto dokładnie tyle zerowych wartości niewiadomych bazowych (x„) ile mamy niewiadomych niebazowych (/„), tzn. /i-R(A).

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

-79-

w w w. matematyk a. s os no wiec.pl