78553 img079 (18)

84

Wzór (4.4) na iteracje proste, w odniesieniu do równania (4.2), przekształconego do postaci (4.55) odpowiadającej metodzie Gaussa-Seidla, przyjmuje postać

(4.56)

*(o)^eR">

^x(*+i) = -{L + D)~^x -U ■ X(_k} + (L +D)b dla k = 0,1, 2, •••

W metodzie Gaussa-Seidla nie korzysta się jednak bezpośrednio z formuły (4.56), lecz przekształca się wzór na iteracje, otrzymując kolejno

i następnie

(L + D) •*(*+!)=-£/■*(*) +A ^D ■ ^x(k₊i) = ~^L ' ^x(k₊\) ~ U ' ^X(k) + b ,

(4.57)

(4.58)

skąd wynika następująca fonnuła obliczeniowa Gaussa-Seidla,

W

R"

= -D ¹ • L •    - D ^] ■ U ■ x+ D ¹ b dla k = 0,1, 2, • • • (

(4.59)

Po rozpisaniu we współrzędnych równania definiującego iteracje w metodzie Gaussa-Seidla otrzymuje się następujący układ równań

^x\,(k+i)

(^_fl12 '^x2,(k)

^aU '^X3,(k)    ■■■    ^a,„-X,

ln ’^xn,(k)

^x2,(k+l)~~    ( ^a2\'^x\,(k+\)    ^a23'^x3,(k)    • ■ ■ ^_ a2n ' ^Xn,(*))^H

-‘22

^a22

^c3,(*+l) ^:

(^—a31 '^xl,(/t+l) ^_fl32 ' ^x2,(i+l) ~ ^a2A ' ^x4,((t) ~ • ■ • ~ ^a3n '^xn.(k))⁺'

³33    ¹

^33

(4.60)

*"n,(£+l)    ( ^an\'^x\,(k+\)    ^an2'^x2,{k+\)    ••• ^an,n-\ ' ^xn-\,(k+\)) '

dla k = 0,1, 2,    .

Aby wyznaczyć współrzędne wektora je^i) z układu równań (4.60), należy wyznaczyć kolejno x_lj(jt+1) z pierwszego równania, następnie po podstawieniu już wyliczonej wartości x_] {k+\) do drugiego równania wyznaczyć X2,(t+i) i kontynuować w ten sposób obliczenia aż do wyznaczenia x_n^_k+V) z ostatniego równania, po uwzględnieniu w nim wyliczonych uprzednio wartości x_lj(i+1), x_uk+\), ■, ^x»-i#+i)-

Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności do wektora .v rozw iązania danego równania (4.2), dla dowolnego punktu początkowego jc₍₀₎ dla iteracji ciągu (x_(k))_k=Q j ₂...

kolejnych przybliżeń w metodzie Gaussa-Seidla, jest spełnienie przez promień spektralny macierzy G = ~(L + Z))^-1 • U warunku (4.30), to znaczy spełnienie nierówności

(4.61)

p({L + D)-^]-u)< 1 .