64785 img045 (37)

50

Na wstępie przedstawiono opis algorytmu iteracji prostej w zastosowaniu do znajdowania przybliżonych wartości rozwiązań jednego równania z jedną niewiadomą.

Niech dane będzie równanie

x = F(x),    (3.48)

gdzie F(-): Rrr-rR jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej x. Punkt x e R jest rozwiązaniem równania (3.48), jeżeli odwzorowanie F(-) nie zmienia jego położenia na osi R. Stąd też o zbiorze rozwiązań równania zapisanego w postaci (3.48) mówi się, że jest on zbiorem punktów stałych odwzorowania występującego po prawej stronie równania.

Każde równanie zapisane w postaci

/(*)= 0,    (3.49)

gdzie /(•): R a x —> R jest daną funkcją, można na nieskończenie wiele sposobów przekształcić z zachowaniem zbioru rozwiązań do postaci (3.48). Na przykład przez zapisanie go w postaci równoważnej

x = x + a-f(x),    (3.50)

gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera.

Algorytm iteracji prostej rozwiązywania równania (3.48) ma następującą konstrukcję.

Krok 0

Jako przybliżenie początkowe („zerowe”) rozwiązania należy wybrać dowolną liczbę x₍o). Kroki

Za X(i) należy podstawić liczbę wyznaczoną jako F(x₍₀)).

Kroki

Za X(2) należy podstawić liczbę wyznaczoną jako F(x_(i)).

Krokj> 1

Za X(_J) należy podstawić liczbę wyznaczoną jako F(x^ p).

Krokj + 1

Za x_ij+\) należy podstawić liczbę wyznaczoną jako F(x_w).

Obliczenia należy zakończyć, jeżeli różnica między x_(J+^ i x_{J) jest mniejsza niż założona wartość dopuszczalna błędu e to znaczy, gdy zachodzi

|x(_/+1)-x_(/)|<£.    (3.51)

Jeżeli ciąg kolejnych przybliżeń nie jest zbieżny, lub gdy poszukuje się następnych, różnych od już wyznaczonych rozwiązań danego równania (3.48), to opisany powyżej ciąg obliczeń należy powtarzać ustalając kolejne nowe wartości początkowe zmiennej x. Realizację algorytmu iteracji prostej przedstawiono poglądowo na rys. 3.7.