116003

(36)

można przekształcić na warunkach jednoznaczności do postaci (3.6) '    U

Postać (3.6) należy przekształcić następująco: y(.t + /i) = y( x) + y (x + h) • h aby w rezultacie otrzymać uogólnione rozwiązanie

(37)

y_M - y,+ f (x_Mty_M)’h    - metoda niejawna (;uwikłana)

Różnica pomiędzy schematem jawnym i schematem niejawnym polega na różnej zbieżności rozwiązania W schemacie niejawnym rozwiązanie zachowuje sens dla dowolnej wartości kroku h Natomiast w schemacie jawnym krok h musi mieć wartość pochodzącą z ściśle określonego zakresu.

Przykład 1

Należy rozwiązać metodą Eulera następujące równanie różniczkowe zwyczajne wykorzystując dla porównania schemat jawny oraz schemat iśejawny,

-$- — 2y warunek początkowy v(0) = 20 dx

rozwiązanie analityczne: v(*) = 20-d^-2*

a) Schemat jawny. Iloraz różnicowy przedni

v₍.x)₌-^v(-^{t + ;,})--^vW h

należy podstawić do równania w miejsce pochodnej. y(x) = -2y(x)

-^{yix + h)}-y^(xK-2y(x)

h

Należy tak przekształcić równanie by obliczyć y(x+h).

y(x + h) = >’C*)(1 - 2/i)

czyli ostatecznie

y_M =y,(}-2h)

Wartość kroku powńuia być w zakresie 0</r<0.5. Zakres tar został dobrany doświadczalnie. Poniżej zamieszczono różne przypadki rozwiązania dla różnych wartości kroku h

Wartość kroku - 0 < h < 0,5 - wartość prawidłowa