0571

573

§ 1. Teoria elementarna

Teraz także wyjdziemy z równości (15). Z twierdzenia 3 wynika, że pierwsza całka ma przy y = y₀ pochodną równą całce z pochodnej

Kro)

J fy(x,y₀)dx.

i <ro)

Dla drugiej całki równej zeru, gdy y — y₀, z twierdzenia o wartości średniej otrzymujemy

/t(») f(y o)

Piy)-P(yo)

y-yo

■f(x, y) .

gdzie x jest zawarte między p (y₀) i P 0')- Zatem pochodna tej całki dla y = y₀, pokrywa-ąca się z granicą powyższego wyrażenia dla y -* y₀, jest równa

P'(y₀)f (Piyol >’<>)■

Dla pochodnej trzeciej całki przy y = y₀ otrzymujemy analogicznie

— *'(yo)f (^a (jo)> >’o) *

Łącząc otrzymane wyniki stwierdzamy, że pochodna /'(y₀) istnieje i jest przedstawiona wzorem (16).

Uwaga. Tezy obu twierdzeń są prawdziwe również wtedy, gdy funkcja f(x,y) jest określona i ma wymienione w założeniach własności tylko w obszarze zawartym między krzywymi

x = a (>•) i x = P(y).

Możliwość rozpatrywania funkcji poza tym obszarem była wykorzystana tylko dla uproszczenia rozumowania. Pouczającym będzie spojrzenie na znalezione wyniki z następującego punktu widzenia. Całka I(y) może być otrzymana z całki

V

I (y, u,v) = J f(x, y) dx ,

U

zależnej od trzech parametrów y, u, v za pomocą podstawienia u = a (y), v = p (y). Zagadnienie zbadania jej własności sprowadza się do ogólnych twierdzeń o ciągłości i różnicz-kowalności funkcji złożonej. W szczególności wzór (16) może być napisany według klasycznego schematu

dl_

dy

dl dl    cl ,

510. Wprowadzenie czynnika zależnego tylko od x. Łatwo jest otrzymać pewne uogólnienie otrzymanych wyżej rezultatów i to bez wprowadzania nowych idei. Można mianowicie zamiast całki (1) rozpatrywać całkę (la)

b

(la)    l (y) = //(x, y) g (x) dx ,

a

gdzie g (x) jest funkcją zmiennej x całkowalną bezwzględnie (w sensie właściwym lub