lastscan41

Z równości /*^ł) = P²⁾ bezpośrednio wynika, że formalny warunek równoważności stóp oprocentowania podokresowego i oprocentowania ciągłego ma postać dowolnej z następujących równości:

<l + i,)* = e'«.	(3.33)
nr-	(3.34)
£ u	(3.35)

Zatem w tym przypadku równoważność badanych stóp również nic zależy od P ani od n, a w celu sprawdzenia ich równoważności wystarczy przyrównać do siebie odpowiadające im roczne czynniki oprocentowujące.

Wobec powyższego, zarówno dla kapitalizacji podokresowej, jak i dla kapitalizacji ciągłej prawdziwe są następujące wnioski.

Równoważność stóp oprocentowania składanego nie zależy od wartości kapitału P ani od czasu oprocentowania n.

Warunki oprocentowania składanego są równoważne, jeśli odpowiadające im roczne czynniki oprocentowujące są równe.

W sytuacji, gdy chcemy zastąpić oprocentowanie ciągłe równoważnym oprocentowaniem podokresowym. rozwiązujemy równanie

e*«(l +i,)\

z którego otrzymujemy stopę podokresową

1,    (3.36)

w sytuacji odwrotnej zaś stopę oprocentowania ciągłego

r_c * k\n(\ + /*).    (3.37)

Przykład 3.13

W celu zbadania równoważności warunków oprocentowania składanego określonych przez r = 12,6% oraz r_c = 12% obliczamy wartość lewej i prawej strony warunku (3.34). Ponieważ

|l + -jyj' = (I.0105)¹² = 1,1335

oraz

c'« - e⁰¹² = 1,1275,

ff tc wanmkl oprocentowania mc są ruwmtwn/nc, Aby dowiedzieć się. jaka tość ma stopa /. równoważna stopie - 1,05%. rozwiązujemy równanie

(l+0,0105)«-e's

j którego otrzymujemy r_c = 12,53%. Z kolei stopę i,₂ równoważną stopie r_c = 12% liczamy z. równania

(1 +i*_l2)¹² = e⁰-¹².

Otrzymując miesięczną stopę i,₂ =1,01%, a następnie stopę nominalną |= 12.06%.

■

Przykład 3.14

Dla stopy oprocentowania rocznego r = 24% obliczymy równoważne stopy entowania:

a)    półrocznego,

b)    kwartalnego,

c)    ciągłego.

ępnie przy użyciu każdej z nich obliczymy dwuletnie odsetki od kapitału 1000 zł.

a)    W tym przypadku rozwiązujemy równanie

(1+/*)² = 1+0.24,

■ którego wynika, że stopa półroczna wynosi i₂ = 11,36%, a stopa nominalna Ł = 22,71%. Przy tej stopie kapitał początkowy P = 1000 zł zwiększy swą Wartość po 4 półroczach do

F = 1000(1+0,1136)⁴ = 1537.60 zł.

[zatem dwuletnie odsetki wyniosą / = 537.60 zł. Skoro stopa i₂ = 11,36% jest ioważna stopie r = 24%, to odsetki obliczone przy użyciu stopy r, = 24% dą miały identyczną wartość, co można bez trudu sprawdzić.

b)    W celu obliczenia stopy i₄ równoważnej stopie r = 24% rozwiązujemy manie

(l+i₄)⁴ = 1,24.

/ którego otrzymujemy stopę kwartalną i_Ą = 5,53% oraz nominalną r₄ = 22.10%. ■Po 8 kwartałach początkowy kapitał 1000 zł przyjmie wartość

F= 1000(1+0.0553)*= 1537.60 zł.

a odsetki wyniosą / = 537.60 zł. Obliczone w ten sposób wartości F oraz / są identyczne jak poprzednio oczywiście dlatego, że korzystaliśmy ze stóp równoważnych.

c) W celu obliczenia stopy oprocentowania ciągłego r_c równoważnej stopie / - 24% rozwiązujemy równanie

91