984501248

I. STRUKTURY LICZBOWE

co właśnie oznacza, że zachodzi warunek W(n 4- 1).

Ze wzoru (1) wynika w szczególności, że suma liczb od 1 do 100 wynosi 5050. Można to oczywiście sprawdzić dodając do siebie kolejnych 100 liczb, co jest oczywiście dość żmudne. Poza tym nie jesteśmy w stanie wykonać nieskończenie wiele tego typu obliczeń. Na tym właśnie polega siła Indukcji Matematycznej. Jednak sprawdzenie wzoru dla nawet bardzo wielu liczb nie oznacza jeszcze, że jest on prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych. Przykładem może być wielomian Eulera

E(n) = n² + n + 41.

Można sprawdzić, że wstawiając w miejsce n kolejno liczby:

0,1,2,3,...,39

otrzymane w ten sposób liczby E{ri) są liczbani pierwszymi, tzn. jedynymi liczbami naturalnymi, przez które daje się podzielić bez reszty są 1 oraz E(ń). Można by więc przypuszczać, że tak jest zawsze. Niestety

£(40) = 40² + 40 + 41 = 41 • 41,

a więc £(40) nie jest liczbą pierwszą. O liczbach pierwszych powiemy jeszcze nieco później.

Przykład 2.2 (Suma wyrazów postępu geometrycznego). Jeśli q jest liczbą rzeczywistą różną od 1, to dla każdej liczby naturalnej n prawdziwy jest wzór:

l — q«+i

(2)    1 + q + q² 4-----\- qⁿ = - - _ ^ ,

przy czym po lewej stronie równości występuje suma n +1 składników, z których każdy następny jest kolejną potęgą liczby q. Zauważmy także, że q° — 1.

Przykład 2.3 (Nierówność Bernoulliego). Dla dowolnej liczby rzeczywistej x > — 1 i dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi wzór:

(3)    (1 + x)ⁿ ^ 1 + nx.

Warunek (I*) w dowodzie indukcyjnym tej nierówności jest oczywisty; zachodzi nawet równość. Aby uzasadnić warunek (II*) wystarczy pomnożyć obustronnie wzór 3 przez 1 -1- x. Nierówność się zachowa bo x > — 1 i będziemy mieli

(1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)"(l + x) $5 (1 + nx)( 1 + x) =

= 1 +nx + x + nx² ^ 1 + (n + l)x,

bo nx² ^ 0 dla każdej liczby rzeczywistej.

Indukcji matematycznej możemy także użyć do definiowania nowych pojęć. W takich przypadkach Zasada Indukcji Matematycznej pozwala nam upewnić się, że dane pojęcie określone jest dla wszystkich liczb naturalnych.