028

28

2. Zmienne losowe

Bezpośrednio z definicji wynika, że zdarzeniami są również zbiory:

{co : X(co) < *},

{co : X(co) > *},

{co : X(co) ^ x}_}

(co : X(co) = *},

{£0 : X(co) £ [a,b]},

{a) : X(ffl) € [a,b)},

{© : X(oi) e (a,b]},

{co : X(co) € (a,b)}.

Również w tych przypadkach najczęściej stosować będziemy skrótowy zapis, np. {X G [0,1]} zamiast pełnego {co : X(co) e [0,1]}, pamiętając jednak zawsze, że X =X(co), czyli że zmienna losowa jest funkcją zdarzeń elementarnych.

Będziemy również pisać Pr(X < x) zamiast Pr ({co : X(co) < x}). Podobnie we wszystkich dalszych przypadkach.

Na zmiennych losowych mogą być dokonywane rozmaite operacje, co precyzuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.1.1.

Jeżeli X(co) jest zmienną losową, a h(x) jest funkcją przedziałami ciągłą, której dziedzina zawiera zbiór wartości X, toY(co) = h(X(co)) jest też zmienną losową określoną na tej samej przestrzeni probabilistycznej co X.

2.1.2. Dystrybuanta zmiennej losowej

Definicja.

Dystrybuanta

Dystrybuantą nazywamy funkcję rzeczywistą zmiennej rzeczywistej, określoną wzorem

F(x) — Pr ({co : X(co) < x}) = Pr(X <*).    (2.1.2)

Definicja ta jest poprawna, gdyż zgodnie z definicją zmiennej losowej zbiory {co : X(co) < x} są zdarzeniami.

Twierdzenie 2.1.2.

Warunki konieczne i dostateczne

Funkcja F(x) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy, gdy

(a)    F(jc) jest niemalejąca,

(b)    lim F(x) = 0, lim F(x) ~ 1,

X—> —°°    X—><*>

(c)    F(x) jest lewostronnie ciągła.