34758

Własności zmiennej losowej X w modelu normalnym

Zakładamy, że X\.....X_n są próbą prostą z rozkładu normalnego.

Xi ~ N(n,o),i = 1.2,

X — i(Xu...,X_n) jesl zmienną losową.

Funkcje próby prostej nazywane są statystykami.

TL własności wartości oczekiwanej, omawianych na jednym z poprzednich wykładów:

E(X) = „,

a więc X jest nieobciążonym estymatorem /¹. W modelu normalnym spełnia pewne istotne kryteria optymalności — w pewnym sensie jest najlepszym estymatorem nieobciążonym /i.

Kstymacja o i a¹ w modelu normalnym

Wariancja z próby S² określona przez jest estymatorem nieobciążonym a² w modelu normalnym, spełniającym pewne ważne kryteria optymalności; w pewnym sensie jest najlepszym estymatorem nieobciążonym a².

Odchylenie standardowe z próby 5 =    — X)² jest sensownym esty

matorem er. ale nie ma (z reguły) własności nieobciążoności.

Przypadek, gdy próba pochodzi z rozkładu innego normalny

Załóżmy, że X\. X2, — X„ pochodzi z rozkładu o wartości oczekiwanej /< i odchyleniu standardowym a (niekoniecznie normalnego).

Można pokazać, że

EX = /i, E{S²) = a²,

tj. że średnia z próby X jest nieobciążonym (niestronniczym) estymatorem /t i wariancja z próby S² jest nieobciążonym estymatorem a² (por. Koronacki. Mielniczuk. Rozdz. 2.4).

Dane dotyczące cen mieszkań w A— hlstogram+krzy wa normalna

Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji

Dane są obserw-acje x\,    ..., x_n- Czy można założyć, że xi, X2, ...,x„ jest re

alizacją próby prostej z rozkładu normalnego N(fi. a) dla pewnych n i al Metody weryfikacji założenia o normalności:

2

1

Sporządzenie histogramu i porównanie jego kształtu z krzywą dzwonową (wykresem funkcji <t>.)