9 (282)

Zakładamy, że x-i, X2,..., x_n są funkcjami zmiennych t-i, t2.....tk, czyli:

xi= gi(h.....t_k),

X2= g2<tl, ... ,t_k),

x_n= g_n(tl.....tk).

Jeżeli dla każdego .....tk)eTc9?^k punkt (gi(ti,... ,t_k).....g_n(ti,... ,t_k))eX, to funkcję

u=f [gi(ti.....t_k),..., g_n(ti.....t_k)]

nazywamy funkcją złożoną zmiennych ti.....tk określoną na T.

Twierdzenie 2 (o różniczkowaniu funkcji złożonej), k '2'WLi CtA

Jeżeli funkcja f: X->$R jest różniczkowalna w obszarze Xc=9iⁿ a funkcje gj! T->% Tc9t^k, (i=1,... ,n) mają pochodne względem zmiennych ti, ... ,t_k to funkcja złożona zmiennych ti, ... ,t_k ma w obszarze T pochodne cząstkowe względem tych zmiennych, które wyrażają się wzorami:

V LA f k- U³

ciA*^tC '^€

0f	df	3gi	df	8Qi ,	df	^d9n
0t,	5x1	dt.	’ dx2	at1	_l_ 0Xn	a,
df	_ df		df |	3g2 ,	df	5gn
a2	dx<,	at2	dx2	di2	’ ' dXn	a2
0f	_ ^	3£h	df +-	dg2 ,	df + —	ogn
5tk		5tk	dx2	etk	dxn	atk

Uwaga 1.

Jeśli k=1, to mamy tezę twierdzenia 1

TL

l£

c)i,

\l

d± TL LL

p*_v r" ^^Yv

dfi

TiT Tu

c

UV

;/, _Ł

(jiclc

d f¹    3 p lęt

'    <    r

s    '    f

hrl

3Ó,    9<» ' "ITh

/

p o ^ i £ / v( 6 ^

f>0(ł)0($* ~^(L^fc^CfL

( .tćeJ vt <|    gy

T fi    ^

MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki