30895 wzory Page resize

Porównywanie dwóch proporcji / frakcji Zakładamy, że analizowane dane są realizacjami dwóch zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych z prawdopodobieństwami sukcesu p\ i />_> (czyli X ~ Bin(nj; pi) i V ~ }>in(;72; po)• Będziemy weryfikować hipotezę postaci

H₀ : pi = P2    (54)

na poziomie istotności a przeciw hipotezie

Hi:pi^p2    (55)

Oznaczmy przez n\ i no Uczbę danych w pierwszej i drugiej grupie obserwacji (czyli liczności w odpowiednich rozkładach dwumianowych), a przez k\ i k₂ liczby zajść zdarzeń, które „nas interesują” (tzn. są opisywane przez odpowiednie zmienne). Na początku obliczamy następującą statystykę:

z = (rąki - nik₂) ■ . I-, w ⁺    -r-77-r ■    (56)

V «1«2 (fel + Kg) (»r + «2 - k\ — Ki)

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, jeżeli wartość bezwzględna obliczonej statystyki z jest mniejsza od kwantyla standardowego rozkładu normalnego zi_<*. Hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy: P2 > pi, gdy obliczona statystyka jest mniejsza od —z^. Gdy statystyka ta jest większa od Z(3, odrzucamy Ho na korzyść hipotezy: p\ > P2.

Test x² niezależności

Rozpatrujemy zmienne losowe X i Y, których wartości należą do rozłącznych kategorii:    .,*<*) (dla zmiennej X) oraz    (dla zmiennej

Y). Naszym celem jest weryfikacja hipotezy

Ho : X i Y są niezależne,    (57)

wobec hipotezy alternatywnej

Hi : istnieje zależność pomiędzy X i Y.    (58)

Niech riij oznacza liczbę obserwacji, dla których zmienna X należy do kategorii x^<l> oraz zmienna Y należy do kategorii    Symbolem ni.    oznaczamy całkowitą

liczbę obserwacji, dla których zmienna X należy do kategorii a symbolem n.j - całkowitą liczbę obserwacji, dla których zmienna V’ należy do kategorii Zatem

r    k

rą. = riij oraz n.j = ny .    (59)

j=i    ;=i

Niech n oznacza całkowitą liczbę obserwacji. Dla i = 1,2,...,fc i j = 1,2, ...,r wyznaczamy liczebności teoretyczne według następującego wzoru

(60)

Aby zweryfikować hipotezę zerową obliczamy wartość statystyki danej formułą